Soktest rendszerek

Az alábbiakban összefoglaljuk a sok részecskét tartalmazó statisztikus rendszerek leírására szolgáló egyenleteket, továbbá néhány fontos alkalmazást is megemlítünk. Ezekből az egyenleteből származtatható további eredmények pedig a Transzportfolyamatok tételben kerülnek kifejtésre.

Soktestrendszerek kontinuum leírása

Amikor nagyon sok részecskének a jellemzőit kell leírni, akkor célszerű mindent eloszlásfüggvényekkel kifejezni. Az eloszlásfüggvény felintegrálva részecskeszámot ad. Meg kell azonban különböztetni, hogy hány részecskére vonatkozik az eloszlásfüggvény. Speciálisan az egyrészecske-eloszlásfüggvény azt mondja meg, hogy mekkra valószínűséggel találunk a $d^3 p d^3 r$ fázistérfogatban 1 részecskét (vagy N-et, a normálás konvenció kérdése), az egyszerűség kedvéért 3 dimenzióra specializálva a tárgyalást:

$N(t) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(\vec{r}, \vec{p}, t) \, d^3 \vec{r} \, d^3 \vec{p}.$

Ezzel szemben az általános N részecske-eloszlásfüggvény:

$N(t) = \int_{-\infty}^{+\infty} d^3 \vec{r}_1 \, d^3 \vec{p}_1 ... \int_{-\infty}^{+\infty} d^3 \vec{r}_N \, d^3 \vec{p}_N f(\vec{r}_1, \vec{p}_1, ..., \vec{r}_N, \vec{p}_N, t) \, .$

A Liouville-egyenlet

Az eloszlásfüggvények megváltozásának leírásához valamilyen mozgásegyenletre van szükségünk. A legegyszerűbb és egyben legáltalánosabb ilyen egyenlet a Liouville-egyenlet, amely az N részecske-eloszlásfüggvényre vonatkozik:

$\frac{d f}{dt}= \frac{\partial f}{\partial t} +\sum_{i=1}^n\left(\frac{\partial f}{\partial q^i}\dot{q}^i +\frac{\partial f}{\partial p_i}\dot{p}_i\right)=0.$

Itt $i$ indexeli az $n$ darab részecskét, $q$ a kanonikus koordináta, $p$ a konjugált impulzus és az időderiváltakat a szokásos módon a Hamilton operátor adja:

$\dot p = -\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial q}$

$\dot q =~~\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial p}.$

Fontos kiemelni, hogy a Liouville-egyenlet egy 6n dimenziós egyenlet (szemben a későbbiekkel). Tömören megfogalmazva a fázistérfogat megmaradását fejezi ki a mozgás trajektóriája mentén.