„Válasz- és korrelációs függvények, fluktuáció-disszipáció tétel” változatai közötti eltérés
a (→Kramers–Kronig-reláció) |
a (→Nemegyensúlyi izoterm lineáris válsz) |
||
(9 közbenső módosítás ugyanattól a szerkesztőtől nincs mutatva) | |||
7. sor: | 7. sor: | ||
A tárgyaláshoz legyen az izolált (nem-perturbált) rendszer Hamiltonja <math>\mathcal{H}_0\,</math> és a kölcsönhatást leíró Hamilton <math>\mathcal{H}_I\,</math>, valamint a teljes rendszert jellemző Hamilton ezek összege. Tételezzük fel a külső perturbációról nem csak azt, hogy gyenge, de azt is, hogy adiabatikusan kapcsoljuk be, azaz nagyon lassan, kvázi-stacionárius állapotokon keresztül. | A tárgyaláshoz legyen az izolált (nem-perturbált) rendszer Hamiltonja <math>\mathcal{H}_0\,</math> és a kölcsönhatást leíró Hamilton <math>\mathcal{H}_I\,</math>, valamint a teljes rendszert jellemző Hamilton ezek összege. Tételezzük fel a külső perturbációról nem csak azt, hogy gyenge, de azt is, hogy adiabatikusan kapcsoljuk be, azaz nagyon lassan, kvázi-stacionárius állapotokon keresztül. | ||
− | A rendszert jellemezzük a sűrűségoperátorral, <math>\rho\,</math>-val. Egy <math>X\,</math> mennyiség | + | A rendszert jellemezzük a sűrűségoperátorral, <math>\rho\,</math>-val. Egy <math>X\,</math> mennyiség átlaga (sokaság és kvantum átlag) <math>t\,</math> időpontban: |
− | :<math><X>_t = \mathrm{Tr}( \rho(t) X ) = Tr( \rho(t_0) U^+(t, t_0) X U(t, t_0))\,</math> | + | :<math><X>_t = \mathrm{Tr}( \rho(t) X ) = \mathrm{Tr}( \rho(t_0) U^+(t, t_0) X U(t, t_0))\,</math> |
ahol <math>U(t, t_0)\,</math> az időfejlesztés unitér operátora, amely leírja a rendszert jellemző mennyiségek időfejlődését <math>t_0\,</math>-ból <math>t\,</math>-be. A kölcsönhatási képben minden operátor (így <math>U\,</math> is) a szabad Hamilton szerint fejlődik időben: | ahol <math>U(t, t_0)\,</math> az időfejlesztés unitér operátora, amely leírja a rendszert jellemző mennyiségek időfejlődését <math>t_0\,</math>-ból <math>t\,</math>-be. A kölcsönhatási képben minden operátor (így <math>U\,</math> is) a szabad Hamilton szerint fejlődik időben: | ||
19. sor: | 19. sor: | ||
:<math>U(t, t_0) = 1 - \frac{i}{\hbar}\int_{t_0}^t \mathcal{H}_I(\tau) d\tau </math> | :<math>U(t, t_0) = 1 - \frac{i}{\hbar}\int_{t_0}^t \mathcal{H}_I(\tau) d\tau </math> | ||
− | Ezt beírva az X mennyiség átlagának képletébe, és kihasználva a Tr ciklikusságát, valamint, hogy kezdetben a rendszer | + | Ezt beírva az X mennyiség átlagának képletébe, és kihasználva a Tr ciklikusságát, valamint, hogy kezdetben a rendszer egyensúlyi állapotát a kanonikus eloszlás írta le: <math>\rho(t_0) = 1/Z \cdot \exp(-\beta \mathcal{H}_0)\,</math>, továbbá a külső perturbációja legyen <math>-A \cdot f(t)\,</math> alakú, ahol <math>A\,</math> a perturbáló mennyiség operátora, <math>f(t)\,</math> pedig a perturbáció amplitudója. Mindezekkel kapjuk: |
− | :<math> | + | :<math>\langle X \rangle_t = \langle X\rangle_0 + \frac{i}{\hbar}\int_{-\infty}^t d\tau \mathrm{Tr}\left[ \frac{\exp(-\beta\mathcal{H}_0)}{Z} (X(t)A(\tau)-A(\tau)X(t)) \right]f(\tau)</math> |
− | Mivel a Tr alatti ciklikus permutációs szimmetria van érvényben, az időfüggések átcsoportosíthatóak, ezért a []-es mennyiség csak az | + | Mivel a Tr alatti ciklikus permutációs szimmetria van érvényben, az időfüggések átcsoportosíthatóak, ezért a []-es mennyiség csak az időkülönbségtől függ. Ezekkel kapjuk a Kubo-formulát: |
− | :<math> | + | :<math>\langle X\rangle_t = \langle X\rangle_0 + \int_{-\infty}^t d\tau \chi(t-\tau) f(\tau)</math> |
ahol: | ahol: | ||
− | :<math>\chi(t) = \mathrm{Tr}\left[ \frac{\exp(-\beta\mathcal{H}_0)}{Z} (X(t)A(0)-A(0)X(t)) \right]</math> | + | :<math>\chi(t) = \frac{i}{\hbar}\mathrm{Tr}\left[ \frac{\exp(-\beta\mathcal{H}_0)}{Z} (X(t)A(0)-A(0)X(t)) \right]=\frac{i}{\hbar}\langle \left[ X(t), A(0) \right] \rangle_0 </math> |
− | a szuszceptibilitás, vagy lineáris válasz függvény. | + | a szuszceptibilitás, vagy lineáris válasz függvény, a jobboldalon a második szögletes zárójel már kommutátort jelöl, a várhatóérték pedig a sokaságátlagot jelenti. |
+ | ===Nemegyensúlyi izoterm lineáris válsz=== | ||
+ | Ha nemegyensúlyi sokrészecskés kvantumrendszerre szeretnénk levezetni a lineáris választ (időfüggetlen, azaz sztatikus esetben), ahol nem ismert, hogy az állapotösszeg kicsit eltér az egyensúlyihoz képest, akkor ezt is sorfejteni kell a kölcsönhatás szerint. Itt most nem időfüggést vizsgálunk, hanem az egyensúlyi eloszlástól való eltérést. Eredményül azt kapjuk, hogy: | ||
+ | :<math><X> = <X>_0 + \int_{0}^\beta ds \left[ \langle A(s)X \rangle_0 - \langle X \rangle_0 \langle A \rangle_0 \right] f</math> | ||
− | ==Korrelációs függvények== | + | Itt az <math>f\,</math>-et szorzó integrál <math>\chi_{XA}\,</math>, az izoterm, sztatikus válaszfüggvény. A baloldali a nem-egyensúlyi (perturbált) várhatóértéke az X mennyiségnek, a jobboldali első tag az egyensúlyi várható érték. Ha akár a perturbáló, akár a rendszert jellemző operátor kommutál H-val, azaz megmaradó mennyiség, akkor az integrálból egy <math>\beta\,</math> szorzó marad, ekkor a válaszfüggvény a korrelációs függvénnyel (alább az első def.) arányos, ez a fluktuáció-válasz tétel: tehát általánosan az izoterm lineáris válszt a korrelációs függvény <math>\beta</math> (inverz hőméréséklet) integrálja adja. |
+ | |||
+ | ===Lineáris válaszfüggvény és a transzport koefficiensek=== | ||
+ | |||
+ | Az egész elmélet azért is jelentős, mert a korábban tárgyalt transzport koefficiensek tulajdonképpen nem mások, mint a rendszer lineáris válaszai a megfelelő külső perturbációkra. Ennek megfelelően, például az elektromos vezetőre kapcsolt külső perturbáló tér esetén a váalszfüggvény a vezetőképesség tenzora lesz, ami így meghatározható a statsztikus átlagokból: a perturbáció operátora a polarizáció <math>P\,</math> és a perturbáció amplitudója <math>E(t)\,</math> a külső elektromos tér, a rendszer válasza pedig az áramsűrűség. Ekkor az egyszerűség kedvéért izortop rendszerre: | ||
+ | |||
+ | :<math>\sigma(t) = \frac{1}{V} \chi_{JP}(t) = \frac{1}{V}\frac{i}{\hbar}\langle [J(t), P(0)] \rangle\,</math> | ||
+ | |||
+ | ==Korrelációs-függvények== | ||
Két mennyiség korrelációs függvényét igen sokféle alakban fel lehet írni. Például: | Két mennyiség korrelációs függvényét igen sokféle alakban fel lehet írni. Például: | ||
41. sor: | 52. sor: | ||
:<math>\langle B(t)A(0) \rangle</math> | :<math>\langle B(t)A(0) \rangle</math> | ||
:<math>\langle A(0)B(t) \rangle</math> | :<math>\langle A(0)B(t) \rangle</math> | ||
+ | :<math>\frac{i}{\hbar}\langle B(t)A(0) - A(0)B(t) \rangle</math> | ||
:<math>\frac{1}{2}\langle B(t)A(0) + A(0)B(t) \rangle</math> | :<math>\frac{1}{2}\langle B(t)A(0) + A(0)B(t) \rangle</math> | ||
− | |||
− | Belátható, hogy ezek közül csak 1 függtelen van. | + | Belátható, hogy ezek közül csak 1 függtelen van. Az utolsó az alábbiakban még hivatkozott <math>C_{BA}(t)\,</math>. |
+ | |||
+ | A korrelációs-függvények azért is fontosak, mert belőlük közvetlenül meghatározhatóak a lineáris transzport-koefficiensek. Ha <math>L</math> egy <math>J</math> áramhoz tartozó transzport koefficiens, akkor a Green-Kubo formula alapján a kapcsolatuk: | ||
+ | |||
+ | :<math>L = \frac{V}{kT} \int_0^{\infty} ds \langle J(0)J(s)\rangle </math> | ||
+ | |||
+ | ahol a <math>\langle X \rangle</math> egyensúlyi átlag. Ezek a formulák csak egyensúlyi, végtelenül lassú (kvázistacionárius) folyamatokra érvényesek. | ||
==Fluktuáció-disszipáció tétel== | ==Fluktuáció-disszipáció tétel== | ||
74. sor: | 91. sor: | ||
:<math>\chi''(\omega) = -{1 \over \pi} \mathcal{P}\!\!\!\int \limits_{-\infty}^{\infty} {\chi'(\omega') \over \omega' - \omega}\,d\omega',</math> | :<math>\chi''(\omega) = -{1 \over \pi} \mathcal{P}\!\!\!\int \limits_{-\infty}^{\infty} {\chi'(\omega') \over \omega' - \omega}\,d\omega',</math> | ||
− | és \mathcal{P} a főérték integrált jelöli. | + | és <math>\mathcal{P}</math> a főérték integrált jelöli. |
{{MSc záróvizsga}} | {{MSc záróvizsga}} |
A lap jelenlegi, 2011. június 16., 18:13-kori változata
Ebbe a tételbe sok minden a Sasi-féle Nemegyensúlyi Statisztikus Fizika órából fog bekerülni.
Tartalomjegyzék
Lineáris válasz-elmélet
Kis külső perturbáció hatására a legkülönbözőbb fizikai rendszerek által produkált reakciók is jól tárgyalhatók lineáris közelítésben. Ide értendőek nem csak a korábban tárgyalt transzport jelenségek, de maguk a mérések is: például mechanikai vagy termodinamikai változásnak teszünk ki egy rendszert egy időpontban és megmérjük a különböző jellemzőit egy
időpontban. A rendszert leíró fizikai jellemzők itt is első rendben lineáris kapcsolatba hozhatóak a perturbációval.
A tárgyaláshoz legyen az izolált (nem-perturbált) rendszer Hamiltonja és a kölcsönhatást leíró Hamilton
, valamint a teljes rendszert jellemző Hamilton ezek összege. Tételezzük fel a külső perturbációról nem csak azt, hogy gyenge, de azt is, hogy adiabatikusan kapcsoljuk be, azaz nagyon lassan, kvázi-stacionárius állapotokon keresztül.
A rendszert jellemezzük a sűrűségoperátorral, -val. Egy
mennyiség átlaga (sokaság és kvantum átlag)
időpontban:
ahol az időfejlesztés unitér operátora, amely leírja a rendszert jellemző mennyiségek időfejlődését
-ból
-be. A kölcsönhatási képben minden operátor (így
is) a szabad Hamilton szerint fejlődik időben:
Ennek a megoldása -ra egy exponenciális kifejezést ad, amit első rendig sorfejtve kapjuk, hogy:
Ezt beírva az X mennyiség átlagának képletébe, és kihasználva a Tr ciklikusságát, valamint, hogy kezdetben a rendszer egyensúlyi állapotát a kanonikus eloszlás írta le: , továbbá a külső perturbációja legyen
alakú, ahol
a perturbáló mennyiség operátora,
pedig a perturbáció amplitudója. Mindezekkel kapjuk:
Mivel a Tr alatti ciklikus permutációs szimmetria van érvényben, az időfüggések átcsoportosíthatóak, ezért a []-es mennyiség csak az időkülönbségtől függ. Ezekkel kapjuk a Kubo-formulát:
ahol:
a szuszceptibilitás, vagy lineáris válasz függvény, a jobboldalon a második szögletes zárójel már kommutátort jelöl, a várhatóérték pedig a sokaságátlagot jelenti.
Nemegyensúlyi izoterm lineáris válsz
Ha nemegyensúlyi sokrészecskés kvantumrendszerre szeretnénk levezetni a lineáris választ (időfüggetlen, azaz sztatikus esetben), ahol nem ismert, hogy az állapotösszeg kicsit eltér az egyensúlyihoz képest, akkor ezt is sorfejteni kell a kölcsönhatás szerint. Itt most nem időfüggést vizsgálunk, hanem az egyensúlyi eloszlástól való eltérést. Eredményül azt kapjuk, hogy:
Itt az -et szorzó integrál
, az izoterm, sztatikus válaszfüggvény. A baloldali a nem-egyensúlyi (perturbált) várhatóértéke az X mennyiségnek, a jobboldali első tag az egyensúlyi várható érték. Ha akár a perturbáló, akár a rendszert jellemző operátor kommutál H-val, azaz megmaradó mennyiség, akkor az integrálból egy
szorzó marad, ekkor a válaszfüggvény a korrelációs függvénnyel (alább az első def.) arányos, ez a fluktuáció-válasz tétel: tehát általánosan az izoterm lineáris válszt a korrelációs függvény
(inverz hőméréséklet) integrálja adja.
Lineáris válaszfüggvény és a transzport koefficiensek
Az egész elmélet azért is jelentős, mert a korábban tárgyalt transzport koefficiensek tulajdonképpen nem mások, mint a rendszer lineáris válaszai a megfelelő külső perturbációkra. Ennek megfelelően, például az elektromos vezetőre kapcsolt külső perturbáló tér esetén a váalszfüggvény a vezetőképesség tenzora lesz, ami így meghatározható a statsztikus átlagokból: a perturbáció operátora a polarizáció és a perturbáció amplitudója
a külső elektromos tér, a rendszer válasza pedig az áramsűrűség. Ekkor az egyszerűség kedvéért izortop rendszerre:
Korrelációs-függvények
Két mennyiség korrelációs függvényét igen sokféle alakban fel lehet írni. Például:
Belátható, hogy ezek közül csak 1 függtelen van. Az utolsó az alábbiakban még hivatkozott .
A korrelációs-függvények azért is fontosak, mert belőlük közvetlenül meghatározhatóak a lineáris transzport-koefficiensek. Ha egy
áramhoz tartozó transzport koefficiens, akkor a Green-Kubo formula alapján a kapcsolatuk:
ahol a egyensúlyi átlag. Ezek a formulák csak egyensúlyi, végtelenül lassú (kvázistacionárius) folyamatokra érvényesek.
Fluktuáció-disszipáció tétel
A korrelációs-függvény és a lineáris válaszfüggvény között a Fourier-térben egyszerű alakú kapcsolat áll fent:
A korrelációs függvény az egyensúlyi fluktuációkat jellemzi, míg a lineáris válaszfüggvény képzetes része a rendszer irreverzibilis megváltozását (pl. disszipáció) jellemzi, amiközben törekszik az egyensúly felé.
Klasszikus határesetben azt kapjuk, hogy:
ahol a klasszikusság feltétele, hogy a rendszer átmenetei sokkal kisebb energiájúak legyenek, mint a hőmérsékleti fluktuációk jellemző energiái:
Ez a kapcsolat azést is fontos, mert a korrelációs-függvények aránylag könnyen mérhetők (pl: neutron-szórás kísérletek a nukleon-nukleon sűrűség korrelációs függvénnyel arányosak) ezáltal pedig megkaphatjuk a válaszfüggvény képzetes részét is. Magát a válszfüggvényt teljes egészében előállíthatjuk csupán a képzetes rész ismeretéből.
Kramers–Kronig-reláció
Matematikailag a Kramers–Kronig-reláció kapcsolatot teremt egy komplex függvény képzetes és valós része között, amennyiben a függvény analitikus a felső félsíkban. Fizikai rendszerek válaszfüggvényeinél a kauzalitás miatt ez a feltétel teljesül. A lineáris válszfüggvény Fourier-transzformáltja egy komplex mennyiség, írjuk fel tehát komplex alakban:
Ekkor a Kramers–Kronig-relációk:
és:
és a főérték integrált jelöli.