Soktest rendszerek '12 - Laptörténet

CzGabe: /* A Hartree-Fock módszer */

2012-06-13T13:48:01Z

‎A Hartree-Fock módszer

CzGabe: /* A Vlasov-egyenlet */

2012-06-13T13:44:44Z

‎A Vlasov-egyenlet

CzGabe: /* Relaxációs közelítés az ütközési tagra */

2012-06-11T16:05:01Z

‎Relaxációs közelítés az ütközési tagra

CzGabe, 2012. június 11., 15:51-n

2012-06-11T15:51:24Z

CzGabe, 2012. június 11., 09:13-n

2012-06-11T09:13:54Z

CzGabe, 2012. június 11., 08:52-n

2012-06-11T08:52:04Z

CzGabe, 2012. június 5., 21:22-n

2012-06-05T21:22:32Z

CzGabe: Új oldal, tartalma: „Az alábbiakban összefoglaljuk a sok részecskét tartalmazó statisztikus rendszerek leírására szolgáló egyenleteket, továbbá néhány fontos alkalmazást is mege…”

2012-06-05T21:22:11Z

Új oldal, tartalma: „Az alábbiakban összefoglaljuk a sok részecskét tartalmazó statisztikus rendszerek leírására szolgáló egyenleteket, továbbá néhány fontos alkalmazást is mege…”

Új lap

Az alábbiakban összefoglaljuk a sok részecskét tartalmazó statisztikus rendszerek leírására szolgáló egyenleteket, továbbá néhány fontos alkalmazást is megemlítünk. Ezekből az egyenleteből származtatható további eredmények pedig a [[Transzportfolyamatok]] tételben kerülnek kifejtésre.

A sokrészecskés rendszerek leírásának három szintje van. A legalapvetőbb, mikroszkópikus szinten minden részecskét külön kezelünk. Ez a klasszikus esetben minden részecskére egy Newton-egyenlet csatolását jelenti. Egy Avogadro-szám nagyságrendű rendszerre ennek a megoldása lehetetlen. Ilyen esetekben célszerű a kinetikus megközelítésben számolni, ahol az egyrészecske tulajdonságokat statisztikus átalagokkal váltjuk fel, és ezekre az átlagokra írjuk fel az egyenleteket. Itt a változóink még mindig mikroszkópikus mennyiségek, de már jóval kevesebb van belőlük, mint a részecskék száma. A harmadik szint a makroszkópikus tárgyalás, ahol már a makroszkópikus állapotjelzőkre vonatkoznak az egyenletek, mint például hőmérséklet, nyomás stb. Az alábbiakban a kinetikus tárgyalásmóddal foglalkozunk.

== Klasszikus sokrészecskerendszerek leírása ==
Amikor nagyon sok részecskének a jellemzőit kell leírni, akkor célszerű mindent eloszlásfüggvényekkel kifejezni. Az eloszlásfüggvény felintegrálva részecskeszámot ad. Meg kell azonban különböztetni, hogy hány részecskére vonatkozik az eloszlásfüggvény. Speciálisan az egyrészecske-eloszlásfüggvény azt mondja meg, hogy mekkra valószínűséggel találunk a <math>d^3 p d^3 r</math> fázistérfogatban 1 részecskét (vagy N-et, a normálás konvenció kérdése), az egyszerűség kedvéért 3 dimenzióra specializálva a tárgyalást:

:<math>N(t) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(\vec{r}, \vec{p}, t) \, d^3 \vec{r} \, d^3 \vec{p}.</math>

Ezzel szemben az általános N részecske-eloszlásfüggvény azt mondja meg, hogy mekkora valószínőséggel találjuk egy időben az első részecskét az 1. fázistér-pontban, a második részecskét a 2. fázistér pontban, ... stb.:

:<math>N(t) = \int_{-\infty}^{+\infty} d^3 \vec{r}_1 \, d^3 \vec{p}_1 ... \int_{-\infty}^{+\infty} d^3 \vec{r}_N \, d^3 \vec{p}_N f(\vec{r}_1, \vec{p}_1, ..., \vec{r}_N, \vec{p}_N, t) \, .</math>

=== A Liouville-egyenlet ===
Az eloszlásfüggvények megváltozásának leírásához valamilyen mozgásegyenletre van szükségünk. A legegyszerűbb és egyben legáltalánosabb ilyen egyenlet a [http://en.wikipedia.org/wiki/Liouville%27s_theorem_%28Hamiltonian%29 Liouville-egyenlet], amely az N részecske-eloszlásfüggvényre vonatkozik:

:<math>\frac{d f}{dt}=
\frac{\partial f}{\partial t}
+\sum_{i=1}^n\left(\frac{\partial f}{\partial q^i}\dot{q}^i
+\frac{\partial f}{\partial p_i}\dot{p}_i\right)=0.</math>

Itt <math>i</math> indexeli az <math>n</math> darab részecskét, <math>q</math> a kanonikus koordináta, <math>p</math> a konjugált impulzus és az időderiváltakat a szokásos módon a Hamilton operátor adja:

:<math>\dot p = -\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial q}</math>
:<math>\dot q =~~\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial p}.</math>

Fontos kiemelni, hogy a Liouville-egyenlet egy 6n dimenziós egyenlet (szemben a későbbiekkel). Tömören megfogalmazva a fázistérfogat megmaradását fejezi ki a mozgás trajektóriája mentén. Speciálisan 1 klasszikus részecskére az egyenlet:

:<math>\frac{\partial f}{\partial t}+\frac{\vec{p}}{m}\cdot\nabla_\vec{r}f+\vec{F}\cdot \nabla_\vec{p} f=0.</math>

=== Molekula dinamika ===
Nagyon nagy vonalakban csak arról van szó, hogy a Liouville-egyenletet tekintjük úgy, hogy a deriváltakat a Newton-féle erőtörvény adja.

=== A Boltzmann-egyenlet ===
A [http://en.wikipedia.org/wiki/Boltzmann_equation Boltzmann-egyenlet] Boltzmann-egyenlet az előzőekkel szemben az egyrészecske-eloszlásfüggvényre vonatkozó mozgásegyenletet adja meg. Alapvetően ez is a fázistérfogat megmaradására épít, amely külső erőhatás esetén ütközések nélkül:

:<math>
f(\vec{r},\vec{p},t)\,d\vec{r}\,d\vec{p} - f(\vec{r}+\frac{\vec{p}}{m}\,dt,\vec{p}+\vec{F}\,dt,t+dt)\,d\vec{r}\,d\vec{p} = 0,
</math>

A baloldal az eloszlásfüggvény teljes deriváltja ha <math>d\vec{r} d \vec{p}</math> infinitezimális. Ha ütközések is vannak, azok a jobboldalra írhatóak. Ezekkel együtt a Boltzmann-egyenlet:

:<math>
\frac{\partial f}{\partial t}
+ \frac{\vec{p}}{m} \nabla_\vec{r} f
+ \vec{F} \nabla_\vec{p} f
= \left. \frac{\partial f}{\partial t} \right|_{\mathrm{coll}}.
</math>

Azaz az ütközési tagtól eltekintve visszakaptuk a Liouville-egyenlet fenti speciális esetét. Boltzmann nagy eredménye az volt, hogy az ütközési tagra is tudott jól használható feltevést tenni az egyrészecske-eloszlásfüggvényekkel kifejezve. Ez a molekuláris káosz feltevés, amely arra épül, hogy a részecskék sebességei korrelálatlanok az ütközés előtt és után, továbbá függetlenek a helytől. Ennek a segítségével az ütközési tag:

:<math>
\left. \frac{\partial f}{\partial t} \right|_{\mathrm{coll}} = \int d\Omega \int \, d\vec{p}_2 \, \sigma(\Omega) \, \frac{|\vec{p}_1 - \vec{p}_2|}{m} (f'_1 f'_2 - f_1 f_2)
</math>

ahol az 1, 2 indexek az egyik és másik részecske adatait indexelik, a vesszőtlen menyiségek az ütközés előtti, a vesszősek az ütközés utániakat jelölik, <math>\Omega</math> a relatív sebességek megváltozási szöge, <math>\sigma</math> az ütközési hatáskeresztmetszet.

==== Relaxációs közelítés az ütközési tagra ====
Az egyik leggyakrabban használt és legegyszerűbb közelítés a Boltzmnn-egyenlet ütközési tagjára, az úgynevzett relaxációs idő közelítés. Ez akkor igaz, ha igen közel vagyunk az egyensúlyi eloszláshoz, 1 valószínűséggel találhatunk betöltetlen állapotokat (az 1-f jellegű tagokat 1-el közelíthetjük), továbbá az ütközés előtti és utáni állapotokra teljesül a részletes egyensúly elve. Ekkor:

:<math>\left. \frac{\partial f}{\partial t} \right|_{\mathrm{coll}} = -\frac{f - f_0}{\tau(\vec{p}) }</math>

ahol <math>f_0</math> az egyensúlyi eloszlás Fermi-Dirac statisztika esetén:

:<math>f_0(\vec{r}, \vec{p}) = \frac{1}{ \exp\left( \frac{(E(\vec{p}) - E_F)}{kT}\right) + 1 }</math>

Ha eltekintünk a sűrűség gradiensektől és a külső erőhatásoktól, akkor egyszerűen megoldható a Boltzmann-egyenlet:

:<math>f(\vec{r}, \vec{p}, t) = f_0(\vec{r}, \vec{p}) \times \left( 1-\exp\left(- \frac{t}{\tau(\vec{p})}\right)\right) </math>

=== A Vlasov-egyenlet ===
Vlasov szerint a Boltzmann-féle kinetikus leírás nem jó hosszútávú kölcsönhatásokkal csatolt sokrészecskerendszerek leírására (ő az elektromos plazma leírására használta, de nyilván a gravitáció is hasonló problémákat vet fel). Egyrészt eleoktronszórásos kísérletekkel való ellentmondás, másrészt a plazmaoszcillációkkal való ellentmondás, harmadrészt a kinetikus tagok divergenciái miatt fellépő problémák miatt egy másik kinetikus leírást keresett, amely a Boltzmann-egyenletek és a Maxwell-egyenletek csatolásával leírná az elektronok és a pozitív töltés atomtörzsek egymásrahatását.

Bár az irodalom erősen keveri az elnevezéseket, de úgy fest, hogy a [http://en.wikipedia.org/wiki/Vlasov_equation Vlasov-egyenlet] nem más, mint a Boltzmann-egyenlet ütközési tag nélkül, és az erőhatás az elektromágneses hatásokból származik, csatolva a Maxwell-egyenletekkel:

:<math>\frac{\partial f_{\pm}}{\partial t} + \frac{\vec{p}}{m_{\pm}} \cdot \nabla_{\vec{r}} f_{\pm} \pm e\Bigl(\vec{E}+\frac{1}{c}(\vec{v}\times\vec{B})\Bigr)\cdot \nabla_{\vec{p}} f_{\pm} = 0
</math>

:<math>
\nabla\times\vec{B}=\frac{4\pi\vec{j}}{c}+\frac{1}{c}\frac{\partial\vec{E}}{\partial t},\quad \nabla\times\vec{E}=-\frac{1}{c}\frac{\partial\vec{B}}{\partial t}
</math>
:<math>
\nabla\cdot\vec{E}=4\pi\rho,\quad \nabla\cdot\vec{B}=0
</math>
:<math>
\rho=e\int(f_+-f_-)d^3\vec{p},\quad \vec{j}=e\int(f_+-f_-)\vec{v}d^3\vec{p}
</math>

Itt "+" a pozitív töltésű, "-" a negatív töltésű részecskék paramétereit indexeli. Fontos látni, hogy az elektromágneses tér forrásául nem az egyes részecskék, hanem a kiátlagolt eloszlásfüggvények szolgálnak.

== Kvantumos sokrészecskerendszerek leírása ==
Legegyszerűbb (nem-relativisztikus) esetben az időfüggő Schrödinger-egyenletet kellene megoldani:

:<math>i \hbar \frac{\partial \Psi}{\partial t} = \mathcal{H} \Psi </math>

ahol <math>\Psi = \Psi(1, 2, ..., N, t)</math> az N-részecske hullámfüggvény, <math>\mathcal{H}</math> pedig a sokrészecske Hamilton-operátor. Ennek precíz megoldása szintén esélytelen.

=== A Hartree-Fock módszer ===
Statikus esetben egy jó közelítés a [http://en.wikipedia.org/wiki/Hartree-Fock_method Hartree-Fock módszer]. Közelítsük a sokrészecske-hullámfüggvényt egyrészecske-hullámfüggvények kombinációjaként, számoljuk ki a kölcsönhatások átlagait ezekkel, majd oldjuk meg ezekre egyenként az egyrészecske-egyenleteket. Az így kapott új hullámfüggvényekkel újrakezdhető az iteráció, és egy önkonzisztens módszert kaphatunk.

A Hartree és a Hartree-Fock módszer abban különbözik, hogy milyen módon bontják fel a sokrészecske-hullámfüggvényt. Előbbi simán szorzatalakban, utóbbi Slater-determináns alakban teszi ezt, ez nyilván jobb felírás (fermionokra), mert figyelembe veszi a hullámfüggvény antiszimmetrikusságát.

Statikus esetben a Hartree-Fock egyenlet a következő alakba írható:

:<math> \mathcal{H} \phi_i = E_i \phi_i </math>
:<math> \mathcal{H} = -\frac{\hbar^2}{2m} \Delta_\vec{r} + V(\vec{r}) + U(\vec{r}) + K</math>
:<math> U(\vec{r}) = \int d^3 r' v(\vec{r}-\vec{r}') f(\vec{r}')</math>

és <math>K</math> hatása:

:<math> K \phi(\vec{r}) = \int d^3 r' \rho(\vec{r}, \vec{r}') v(\vec{r}-\vec{r}') \phi(\vec{r}')</math>

ahol az egyrészecske-sűrűségmátrix:
:<math> \rho(\vec{r}, \vec{r}') = \sum_i^N \phi^*_i(\vec{r}) \phi_i(\vec{r}') </math>

és az egyrészecske-eloszlásfüggvény:
:<math> f(\vec{r}) = \rho(\vec{r}, \vec{r}) </math>

=== Időfüggő Hartree-Fock ===
Ha dinamikát akarunk leírni, akkor a sűrűségmátrix időfejlődését kell tekintenünk. Ezt a Neumann-egyenlet írja le:

:<math> i \hbar \frac{\partial \rho}{\partial t} = [\mathcal{H},\rho]</math>

A problémát itt a párkölcsönhatás okozza, mert ez csatolódik a kétrészecske-sűrűségmátrixhoz. Ez elvileg az egyenletek végtelen hierarchiájához vezetne (az adott rendű sűrűségmátrix időfejlődése mindig csatolódik az eggyel magasabb rendű sűrűségmátrixhoz). Ezt egy közelítéssel oldjuk fel, nevezetesen a kétrészecske-sűrűségmátrixot az egyrészecskéssel fejezzük ki, ezáltal levágva a hierarchiát:

:<math> \rho^{(2)}(\vec{r}_1, \vec{r}_2, \vec{r}_3, \vec{r}_4) = \rho(\vec{r}_2, \vec{r}_3) \rho(\vec{r}_1, \vec{r}_4) - \rho(\vec{r}_2, \vec{r}_4) \rho(\vec{r}_1, \vec{r}_3)</math>

Így zárt egyenletrendszer kapható, amiben csak <math>\rho(\vec{r}, \vec{r}')</math> szerepel, de csak egyrészecske hatásokat vettünk figyelembe.

=== Uehling-Uhlenbeck ütközési tag ===

Ha a kétrészecske hatásokat is figyelembe szeretnénk venni, akkor azt perturbatíven lehet megtenni. Ha feltesszük, hogy az egyrészecske-sűrűségmátrix diagonális, akkor az egyrészecske-sűrűségelemek (<math>n_i</math>) mozgásegyenlete:

:<math> \frac{d n_i}{d t} = \frac{2\pi}{\hbar}\sum_{j} V^2_{ij} \delta(E_j-E_i)[n_j(1-n_i) - n_i(1-n_j)]</math>

Az analóg kifejezés a kétrészecskés esetre:
:<math> \frac{d n_i}{d t} = \frac{2\pi}{\hbar}\sum_{jlk} V^2_{ijkl} \delta(E_l+E_k-E_i-E_j)[n_l n_k (1-n_i)(1-n_j) - n_i n_j (1-n_l)(1-n_k)]</math>

<math>V_{ijkl}</math> a párkölcsönhatás mindkét esetben. Az időfüggő Hartree-Fock megközelítés tehát tovább javítható, ha a kétrészecske ütközéseket is be tudjuk építeni a modellbe. A fenti kétrészecskés tag adta a motivációt Uehlingnek és Uhlenbecknek, hogy egy klasszikus kinetikus egyenletet írjanak fel, ami a kétrészecskés ütközéseket is figyelembeveszi. Lényegében a Vlasov-egyenlethez hozzáadták a fenti kétrészecskés ütközési tagot a megfelelő klasszikus közelítések felhasználásával:

:<math>
\frac{\partial f}{\partial t}
+ \frac{\vec{p}}{m} \nabla_\vec{r} f
+ \vec{F} \nabla_\vec{p} f
= -\int \frac{d \vec{p}_2 d \vec{p}_1' d \vec{p}_2'}{(2\pi)^6} \sigma v_{12} \times [f f_2 (1-f_1')(1-f_2') - f_1' f_2' (1-f)(1-f_2)]\delta^3(p + p_2 - p_1' - p_2')
</math>

itt <math>\sigma</math> az ütközési hatáskeresztmetszet, <math>v_{12}</math> pedig a potenciál mátrixeleme.

== Gravitációsan kölcsönható soktestrendszerek ==
A gravitációs soktest modellek nagyban hasonlítanak a fentebb ismertetettekre, csak a Maxwwell-egyenletek helyett például a gravitációs potenciál egyenletét kell csatolni a kinetikus egyenlethez. Itt még egy trükköt szoktak bevetni, nevezetesen a folytonos eloszlásfüggvényből Monte-Carlo módszerrel mintavételeznek pontrészecskéket, és rájuk számolják ki a párkölcsönhatásokat (esetleg megfelelően nagy távolságon elhanyagolva, vagy rácson blokkosítva). Ez egyszerűbb, mintha a folytonos anyageloszlásra kellene kiszámolni az erőhatást.

{{MSc záróvizsga}}

@@ 108. sor: / 108. sor: @@
 Hartree-Fock módszerben a variációs hullámfüggvény:
 <math>\psi(\vec{r_{1}};\vec{r_{2}};...;\vec{r_{N}})=\frac{1}{\sqrt{N!}}\sum_{i_{1},...,i_{N}=1}^{N}\epsilon_{i_{1},...,i_{N}}\varphi_{i_{1}}(\vec{r_{1}})\varphi_{i_{2}}(\vec{r_{2}})...\varphi_{i_{N}}(\vec{r_{N}})=\frac{1}{\sqrt{N!}}\left|\begin{array}{ccc}
 \varphi_{i_{1}}(\vec{r_{1}}) & \cdots & \varphi_{i_{N}}(\vec{r_{1}})\\
 \vdots & \ddots & \vdots\\
 \varphi_{i_{1}}(\vec{r_{N}}) & \cdots & \varphi_{i_{N}}(\vec{r_{N}})
-\end{array}\right|</math>,
+\end{array}\right|,</math>
 ahol <math>\epsilon_{i_{1},...,i_{N}}</math> a Levi-Civita szimbólum.

← Régebbi változat		A lap 2012. június 11., 09:13-kori változata
100. sor:		100. sor:

	A Hartree és a Hartree-Fock módszer abban különbözik, hogy milyen módon bontják fel a sokrészecske-hullámfüggvényt. Előbbi simán szorzatalakban, utóbbi Slater-determináns alakban teszi ezt, ez nyilván jobb felírás (fermionokra), mert figyelembe veszi a hullámfüggvény antiszimmetrikusságát.		A Hartree és a Hartree-Fock módszer abban különbözik, hogy milyen módon bontják fel a sokrészecske-hullámfüggvényt. Előbbi simán szorzatalakban, utóbbi Slater-determináns alakban teszi ezt, ez nyilván jobb felírás (fermionokra), mert figyelembe veszi a hullámfüggvény antiszimmetrikusságát.
		+
		+	Hartree-módszerben a variációs hullámfüggvény:
		+
		+	<math>\psi(\vec{r_{1}};\vec{r_{2}};...;\vec{r_{N}})=\varphi_{i_{1}}(\vec{r_{1}})\varphi_{i_{2}}(\vec{r_{2}})...\varphi_{i_{N}}(\vec{r_{N}})</math>
		+
		+
		+	Hartree-Fock módszerben a variációs hullámfüggvény:
		+	<math>\psi(\vec{r_{1}};\vec{r_{2}};...;\vec{r_{N}})=\frac{1}{\sqrt{N!}}\sum_{i_{1},...,i_{N}=1}^{N}\epsilon_{i_{1},...,i_{N}}\varphi_{i_{1}}(\vec{r_{1}})\varphi_{i_{2}}(\vec{r_{2}})...\varphi_{i_{N}}(\vec{r_{N}})=\frac{1}{\sqrt{N!}}\left\|\begin{array}{ccc}
		+	\varphi_{i_{1}}(\vec{r_{1}}) & \cdots & \varphi_{i_{N}}(\vec{r_{1}})\\
		+	\vdots & \ddots & \vdots\\
		+	\varphi_{i_{1}}(\vec{r_{N}}) & \cdots & \varphi_{i_{N}}(\vec{r_{N}})
		+	\end{array}\right\|</math>,
		+
		+	ahol <math>\epsilon_{i_{1},...,i_{N}}</math> a Levi-Civita szimbólum.
		+

	Statikus esetben a Hartree-Fock egyenlet a következő alakba írható:		Statikus esetben a Hartree-Fock egyenlet a következő alakba írható:

← Régebbi változat		A lap 2012. június 11., 08:52-kori változata
1. sor:		1. sor:
−	Az alábbiakban összefoglaljuk a sok részecskét tartalmazó statisztikus rendszerek leírására szolgáló egyenleteket, továbbá néhány fontos alkalmazást is megemlítünk. Ezekből az egyenleteből származtatható további eredmények pedig a [[Transzportfolyamatok]] tételben kerülnek kifejtésre.	+	Az alábbiakban összefoglaljuk a sok részecskét tartalmazó statisztikus rendszerek leírására szolgáló egyenleteket, továbbá néhány fontos alkalmazást is megemlítünk. Ezekből az egyenleteből származtatható további eredmények pedig a [[Transzportfolyamatok '12]] tételben kerülnek kifejtésre.

	A sokrészecskés rendszerek leírásának három szintje van. A legalapvetőbb, mikroszkópikus szinten minden részecskét külön kezelünk. Ez a klasszikus esetben minden részecskére egy Newton-egyenlet csatolását jelenti. Egy Avogadro-szám nagyságrendű rendszerre ennek a megoldása lehetetlen. Ilyen esetekben célszerű a kinetikus megközelítésben számolni, ahol az egyrészecske tulajdonságokat statisztikus átalagokkal váltjuk fel, és ezekre az átlagokra írjuk fel az egyenleteket. Itt a változóink még mindig mikroszkópikus mennyiségek, de már jóval kevesebb van belőlük, mint a részecskék száma. A harmadik szint a makroszkópikus tárgyalás, ahol már a makroszkópikus állapotjelzőkre vonatkoznak az egyenletek, mint például hőmérséklet, nyomás stb. Az alábbiakban a kinetikus tárgyalásmóddal foglalkozunk.		A sokrészecskés rendszerek leírásának három szintje van. A legalapvetőbb, mikroszkópikus szinten minden részecskét külön kezelünk. Ez a klasszikus esetben minden részecskére egy Newton-egyenlet csatolását jelenti. Egy Avogadro-szám nagyságrendű rendszerre ennek a megoldása lehetetlen. Ilyen esetekben célszerű a kinetikus megközelítésben számolni, ahol az egyrészecske tulajdonságokat statisztikus átalagokkal váltjuk fel, és ezekre az átlagokra írjuk fel az egyenleteket. Itt a változóink még mindig mikroszkópikus mennyiségek, de már jóval kevesebb van belőlük, mint a részecskék száma. A harmadik szint a makroszkópikus tárgyalás, ahol már a makroszkópikus állapotjelzőkre vonatkoznak az egyenletek, mint például hőmérséklet, nyomás stb. Az alábbiakban a kinetikus tárgyalásmóddal foglalkozunk.

← Régebbi változat		A lap 2012. június 5., 21:22-kori változata
151. sor:		151. sor:
	A gravitációs soktest modellek nagyban hasonlítanak a fentebb ismertetettekre, csak a Maxwwell-egyenletek helyett például a gravitációs potenciál egyenletét kell csatolni a kinetikus egyenlethez. Itt még egy trükköt szoktak bevetni, nevezetesen a folytonos eloszlásfüggvényből Monte-Carlo módszerrel mintavételeznek pontrészecskéket, és rájuk számolják ki a párkölcsönhatásokat (esetleg megfelelően nagy távolságon elhanyagolva, vagy rácson blokkosítva). Ez egyszerűbb, mintha a folytonos anyageloszlásra kellene kiszámolni az erőhatást.		A gravitációs soktest modellek nagyban hasonlítanak a fentebb ismertetettekre, csak a Maxwwell-egyenletek helyett például a gravitációs potenciál egyenletét kell csatolni a kinetikus egyenlethez. Itt még egy trükköt szoktak bevetni, nevezetesen a folytonos eloszlásfüggvényből Monte-Carlo módszerrel mintavételeznek pontrészecskéket, és rájuk számolják ki a párkölcsönhatásokat (esetleg megfelelően nagy távolságon elhanyagolva, vagy rácson blokkosítva). Ez egyszerűbb, mintha a folytonos anyageloszlásra kellene kiszámolni az erőhatást.

−	{{MSc záróvizsga}}	+	{{MSc 2012 záróvizsga}}

@@ 77. sor: / 77. sor: @@
 </math>
-:<math>
+{|
-\nabla\times\vec{B}=\frac{4\pi\vec{j}}{c}+\frac{1}{c}\frac{\partial\vec{E}}{\partial t},\quad \nabla\times\vec{E}=-\frac{1}{c}\frac{\partial\vec{B}}{\partial t}
+|-
-</math>
+|<math> 1) \quad \nabla\times\vec{B}=\frac{4\pi\vec{j}}{c}+\frac{1}{c}\frac{\partial\vec{E}}{\partial t},\quad .</math>||<math> 2) \quad \nabla\times\vec{E}=-\frac{1}{c}\frac{\partial\vec{B}}{\partial t}</math>
-:<math>
+|-
-\nabla\cdot\vec{E}=4\pi\rho,\quad \nabla\cdot\vec{B}=0
+|<math> 3) \quad \nabla\cdot\vec{E}=4\pi\rho,</math>||<math> 4) \quad \nabla\cdot\vec{B}=0</math>
-</math>
+|}
 :<math>
 \rho=e\int(f_+-f_-)d^3\vec{p},\quad \vec{j}=e\int(f_+-f_-)\vec{v}d^3\vec{p}

@@ 57. sor: / 57. sor: @@
 ==== Relaxációs közelítés az ütközési tagra ====
-Az egyik leggyakrabban használt és legegyszerűbb közelítés a Boltzmnn-egyenlet ütközési tagjára, az úgynevzett relaxációs idő közelítés. Ez akkor igaz, ha igen közel vagyunk az egyensúlyi eloszláshoz, 1 valószínűséggel találhatunk betöltetlen állapotokat (az 1-f jellegű tagokat 1-el közelíthetjük), továbbá az ütközés előtti és utáni állapotokra teljesül a részletes egyensúly elve. Ekkor:
+Az egyik leggyakrabban használt és legegyszerűbb közelítés a Boltzmnn-egyenlet ütközési tagjára, az úgynevzett relaxációs idő közelítés. Ez akkor igaz, ha igen közel vagyunk az egyensúlyi eloszláshoz, 1 valószínűséggel találhatunk betöltetlen állapotokat (az 1-f jellegű tagokat 1-el közelíthetjük), továbbá az ütközés előtti és utáni állapotokra teljesül a [http://en.wikipedia.org/wiki/Detailed_balance részletes egyensúly] elve. Ekkor:
 :<math>\left. \frac{\partial f}{\partial t} \right|_{\mathrm{coll}} = -\frac{f - f_0}{\tau(\vec{p}) }</math>

@@ 4. sor: / 4. sor: @@
 == Klasszikus sokrészecskerendszerek leírása ==
-Amikor nagyon sok részecskének a jellemzőit kell leírni, akkor célszerű mindent eloszlásfüggvényekkel kifejezni. Az eloszlásfüggvény felintegrálva részecskeszámot ad. Meg kell azonban különböztetni, hogy hány részecskére vonatkozik az eloszlásfüggvény. Speciálisan az egyrészecske-eloszlásfüggvény azt mondja meg, hogy mekkra valószínűséggel találunk a <math>d^3 p d^3 r</math> fázistérfogatban 1 részecskét (vagy N-et, a normálás konvenció kérdése), az egyszerűség kedvéért 3 dimenzióra specializálva a tárgyalást:
+Amikor nagyon sok részecskének a jellemzőit kell leírni, akkor célszerű mindent eloszlásfüggvényekkel kifejezni. Az eloszlásfüggvény felintegrálva részecskeszámot ad. Meg kell azonban különböztetni, hogy hány részecskére vonatkozik az eloszlásfüggvény. Speciálisan az egyrészecske-eloszlásfüggvény azt mondja meg, hogy mekkora valószínűséggel találunk a <math>d^3 p d^3 r</math> fázistérfogatban 1 részecskét (vagy N-et, a normálás konvenció kérdése), az egyszerűség kedvéért 3 dimenzióra specializálva a tárgyalást:
 :<math>N(t) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(\vec{r}, \vec{p}, t) \, d^3 \vec{r} \, d^3 \vec{p}.</math>