TételWiki - Szerkesztő közreműködései [hu]

A kvantummechanika elméleti háttere

2012-01-11T15:18:54Z

Bertalan: /* A spin és a Pauli-egyenlet */

A XIX. és XX. század fordulóján felhalmozódott kísérleti tapasztalatok abba az irányba mutattak, hogy az atomi szinteken mérhető fizikai mennyiségek a klasszikus szemlélettel szemben diszkrét értékeket vesznek fel folytonos helyett. Ez szükségessé tette olyan matematikai formalizmus bevezetését, amelytől nem idegen a diszkrét értékek megjelenése. Heisenberg, Dirac és Schrödinger voltak a formalizmus kialakulásának legnagyobb úttörői.

==A kvantummechanika matematikai alapjai==
A kvantummechanikában a fizikai mennyiségekhez operátorokat rendelünk. Az általunk mérhető értékeket a fizikai mennyiség operátorának sajátértékeivel azonosítjuk. Mivel az általunk mért értékek valósak, ez azonnal megkötést ad az operátorokra: azoknak önadjungáltaknak kell lenniük:

:<math>A = A^\dagger</math>

Az adjungált operátorra definíció szerint:

:<math>\langle \mathbf{A^\dagger} u | v \rangle = \langle u | \mathbf{A} v \rangle</math> [http://hu.wikipedia.org/wiki/Braket-jelölés]

a Hilbert-tér bármely u,v elemeire. Ez mátrixreprezentációban a transzponált komplex konjugáltját jelenti.

A klasszikus mechanikában a kanonikus formalizmus igen koherens és logikus tárgyalásmódot jelentett, ezért ezt tovább visszük axióma szerűen a kvantummechanikában, és megköveteljük a klasszikusan fennálló kanonikus relációk teljesülését. Klasszikusan az anyagi rendszer helykoordinátákkla jellemezzük, az impulzust a a helykoordinátákhoz konjugált mennyiségként vezetjük be:

:<math>p_k = \frac{\partial L}{\partial \dot{q_k}}</math>

Axiomatikusan megköveteljük, hogy a hely és az impulzus operátora teljesítse a következő, Heisenberg-féle felcserélési relációkat:

:<math>[p_k, q_l] = \frac{\hbar}{i} \mathbf{I} \delta_{kl}</math>
:<math>[p_k, p_l] = 0\,</math>
:<math>[q_k, q_l] = 0\,</math>

Itt a [a, b] = ab - ba, kommutátor, <math>\delta_{kl}</math> pedig a Kronecker-delta.

== Analógia a Poisson-zárójelek és a kommutátorok között (*) ==

A klasszikus mechanikából ismert Poisson-zárójelek szerepe nagyon hasonlít a kvantummechanikai kommutátorokéhoz, hiszen ha visszaemlékszünk:

:<math>\{p_i,p_j\}=0\,</math>
:<math>\{q_i,q_j\}=0\,</math>
:<math>\{p_i,q_j\}=\delta_{ij}\,</math>

A Poisson-zárjelekkel felírva egy mennyiség időfejlődését a kötekezőt kapjuk:

:<math>\frac{du}{dt}=\frac{\partial u}{\partial t} +\{u,H\}</math>

ahol a Poisson-zárójel definíciója:

:<math>\{a,b\} = \frac {\partial a}{\partial q}\frac {\partial b}{\partial p} - \frac {\partial a}{\partial p} \frac {\partial b}{\partial q}</math>

ahol ''a'' és ''b'' az általánosított kooridnáták és impulzusok függvénye.

Ez kísértetiesen hasonlít a kvantummechanikai Heisenberg-képben az operátorok időfejlődését leíró egyenletre (lásd lejjebb).

==Kvantummechanikai reprezentációk==
A fenti megkötéseket többféle reprezentációban ki lehet elégíteni, Schrödinger hullámmechanikát épített rá, Heisenberg hermitikus mátrixokkal dolgozott. Elvileg integráloperátorokat is használhatnánk, de azokkal bonyolult számolni. Tradícionálisan a differenciál-egyenletek megoldási apparátusa volt készen, ezért ezzel dolgoztak nagyon sokáig. Később megmutatták, hogy a különböző tárgyalásmódok ekvivalensek. A továbbiakban a Schrödinger-féle reprezentációban dolgozunk. Schrödinger a következő operátorokat vezette be:

:<math>\hat{q} = q</math>
:<math>\hat{p} = \frac{\hbar}{i} \frac{\partial}{\partial q}</math>

Ennek akkor van értelme, ha az operátorok valamilyen folytonos függvényre hatnak. Ezért ebben a reprezentációban a rendszert a koordinátáktól függő hullámfüggvénnyel adjuk meg. Belátható, hogy a bevezetett felcserélési relációkat teljesítik a bevezetett operátorok. A bevezetett hullámfüggvényre további megkötéseink vannak, ha '''A''' valamilyen fizikai mennyiség operátora, akkor fennáll a következő sajátérték-egyenlet:

:<math>\mathbf{A} \psi = \lambda \psi</math>

Ennek csak azon <math>\psi</math> megoldásait fogadjuk el, amelyek egyértékűek, folytonosak, és négyzetesen integrálhatóak, ezeket a függvényeket nevezhetjük reguláris függvényeknek. A továbbiakban a reguláris megoldásokra, mint sajátfüggvényre, az ezekhez tartozó <math>\lambda</math> paraméterekre, mint sajátértékekre hivatkozunk.

==A hullámfüggvény valószínűségi értelmezése==
A rendszer állapotára bevezettük a hullámfüggvényt: <math> \psi\left(q,t\right) </math>. Ennek abszolút érték négyzete meghatározza a koordinátaértékek valószínűségének eloszlását, másképpen <math> |\psi\left(q,t\right)|^2 dq </math> meghatározza, hogy a dq elemben mekkora a valószínűsége a q koordinátaértékek előfordulásának. Speciálisan pontrendszerek esetén visszakapjuk a klasszikus koordinátavektorokkla való jellemzést: <math> q=\left(r_1,...,r_N\right)=\vec{r} </math>. Ez az értelmezés, hozzávéve azt a tapasztalatot, hogy egy részecskét az ideális detektor valahol mindig megtalál, adja a normálási feltételt, vagyis hogy a hullámfüggvény teljes térre vett integrálja 1.

===Koppenhágai axiómák===
A fentiek szerint a hullámfüggvény valószínűséget ír le, és a fizikai operátorok rajta sajátértéket vesznek fel méréskor. Ezen fogalmak összekapcsolásának értelmezésére a következőket vezetjük be:

*Ha adott fizikai mennyiséget akarunk megmérni, az eredmény csak annak valamely sajátértéke lehet.
*Ha többszöri mérést végzünk, és a rendszer a fizikai operátor sajátállapotában van, akkor a sajátállapothoz tartozó sajátértéket mérjük, ha nincs sajátállapotban, akkor a hullámfüggvényt ki kell fejteni a sajátértékek bázisán, és a kifejtési együtthatók négyzetei adják az adott sajátértékek mérésének valószínűségeit:

:<math>| \psi \rangle = \sum_n \alpha_n | \phi_n \rangle</math>
:<math>P\left( A = a_n \right) = | \alpha_n |^2\,</math>

===A kvantummechanika mértékinvarianciája===
A <math>\psi\left(q\right)</math> és <math>\psi\left(q\right)e^{i\chi}</math> hullámfüggvényt fizikai szempontból egyenértékűnek tekintjük mivel abszolút értékük megegyezik, <math>\chi</math> egy tetszőleges függvény. Ezen transzformációk az U(1) csoportot alkotják.

==A Schrödinger-egyenlet==
(*A levezetés csak a kitekintés kedvéért szerepel itt)

Az axiomatikus felépítésben érdemes megjegyezni, hogy igen kevés alapfeltevésből eljuthatunk a kvantummechanika talán legalapvetőbb egyenletéhez, a Schrödinger-egyenlethez. Az előzőekben bevezettük a hullámfüggvényt. Erre a sajátérték egyenlet alapján kiróttuk a regularitást, amely alapján a függvény négyzetesen integrálható. Teljesen jogosan várhatjuk el, hogy ez minden időpillanatban teljesüljön a hullámfüggvényre, azaz '''az időfejlődés megtartja a normát'''. Vezessünk be egy kezdetben tetszőleges '''G(t)''' időfejlesztő operátort. Ez az operátor a hullámfüggvényt ''t'' idővel későbbi állapotába viszi át. Követeljük meg, hogy ez a transzformáció független legyen attól, hogy ez az eltolás milyen kezdőponthoz képest törénik, azaz legyen '''időeltolási szimmetria'''. Ez teljesen analóg a klasszikus mechanikánál tapasztaltakkal. Végül követeljük meg, hogyha két egymás utáni transzformációt (időfejlesztést, pl <math>t_1</math> és <math>t_2</math>) végzünk, az ekvivalens legyen egyetlen, az időkülönbségek összegével jellemzett időfejlesztéssel (<math>t_3 = t_1 + t_2</math>). Másszóval '''az időfejlődés egyparaméteres csoportot alkot'''. A fentiekből némi algebrai átalakításokkal, és a normafeltétel kihasználásával belátható, hogy a '''G''' operátor unitér, azaz az adjungáltja az inverzével egyenlő. További algebrai átalakításokkal, és az egyparaméteres csoportok azon tulajdonságát kihasználva, hogy felírhatóak egy másik exponencializált operátor segítésével kapjuk a következő összefüggést:

:<math>G(t) = e^{-t \mathbf{Z}}</math>

'''G''' unitérségéből belátható, hogy '''Z''' anti-hermitikus, azaz sajátértékei tisztán képzetesek. Vezessük be ennek az operátornak az i-szeresét, ez már hermitikus lesz, és a sajátértékei valósak lesznek:

:<math>\mathbf{S} = i \cdot \mathbf{Z}</math>

Mivel ''t'' dimenziója s, ezért '''S''' dimenziójának 1/s-nek kell lennie. Önkényesen bevezethetünk egy másik hermitikus operátort, amelynek a dimenziója Joule:

:<math>\mathbf{S} = \frac{1}{\hbar}\mathbf{H}</math>

Ekkor '''G''' alakja:

:<math>G(t) = e^{-t\frac{i}{\hbar}\mathbf{H}}</math>

Egy tetszőleges <math>\psi_0</math> kezdőfeltételből indítva:

:<math>\psi(t) = e^{-t\frac{i}{\hbar}\mathbf{H}} \psi(0)</math>

Deriváljuk ezt le idő szerint, és szorozzuk be <math>i\hbar</math>-al:

:<math>i \hbar \frac{d}{dt} \psi(t) = \mathbf{H} \psi(t)</math>

Ez az egyenlet a Schrödinger-egyenlet. Itt azonban még nem derült ki, hogy '''H''' micsoda. Belátható, hogy ez a Hamilton-operátora lesz a vizsgált rendszernek. Az így nyert egyenlet lineáris, azaz a hullámfüggvényre érvényes a szuperpozíció elve: ha <math>\psi_1</math> és <math>\psi_2</math> a rendszer lehetséges állapotai akkor <math>\psi=a_1\psi_1+a_2\psi_2\,</math> is az. Továbbá feltsszük, hogy <math>\psi</math> és <math>a\cdot\psi</math> ugyanazt az állapotot írja le (''a'' valós). Ezek közül a normálással tudunk kiválasztani egyet.

==Heisenberg-kép==
Az előző levezetésben természetesen adódott, hogy a hullámfüggvény időfüggő, és ezért nem volt szükség arra, hogy az operátorokról feltegyük, hogy időfüggőek. Ezt a tárgyalásmódot, hogy az időfüggés a hullámfüggvényben van Schrödinger-képnek nevezzük. Vizsgáljuk meg egy '''A''' operátor időátlagát:

:<math>\overline{A}(t) = \int_{-\infty}^{\infty} \psi^{*}(t)A \psi (t) dt = \langle \psi (t) |A| \psi (t) \rangle </math>

Itt bevezettük a bra-ket jelölés rendszert. Írjuk be az időfüggő hullámfüggvényeket mint a kezdőállapot és az arra ható időfejlesztő unitér operátort '''G''' szorzatát:

:<math>\overline{A}(t) = \langle \psi (0) | \mathbf{G}^{+}(t) \mathbf{A} \mathbf{G}(t)| \psi (0) \rangle </math>

A belső operátor szorzatot elnevezhetjük egy új időfüggő operátornak. Ezt az időfüggő operátort tekinthetjük '''A''' Heisenberg-képbeli reprezentációjának. Az operátorok időfüggését leíró egyenlet:

:<math>\frac{dA}{dt}=\frac{i}{\hbar}[H,A]+\frac{\partial A}{\partial t}</math>

==Határozatlansági-elv==
Ha adott egy operátor, amelyet hattatva a rendszer hullámfüggvényére az sajátértéket vesz fel, akkor azt mondjuk, hogy az az operátor sajátállapota, ekkor az értéke határozott, a sajátértéket veszi fel. Ha ez nem teljesül, azaz a hullámfüggvényen nem vesz fel az operátor sajátértéket, ekkor az értéke határozatlan. Ha két operátor kommutál, akkor létezik olyan hullámfüggvény, amelyen mindkettő sajátértéket vesz fel. Azok az operátorok, amelyek egymással nem kommutálnak egy igen alapvető összefüggésnek tesznek eleget. Definiáljuk a közepes eltérést:

:<math>\Delta O = \sqrt{ \overline{(\mathbf{O} - \overline{O})^2}}</math>

Ekkor két hermitikus operátorra fennáll, hogy:

:<math>\Delta O_1 \Delta O_2 \geq \frac{1}{2}|\overline{[\mathbf{O}_1,\mathbf{O}_2]}|</math>

Szavakban megfogalmazva: két felnemcserélhető operátor értékét nem lehet egyszerre tetszőleges pontossággal megmérni. Mérésnek tekintünk minden folyamatot, ahol klasszikus és kvantumos objektumnak történik kölcsönhatása. A mérésnek elvi korlátja van. Ezt az összefüggést nevezzük Heisenberg-féle határozatlansági relációnak. A leghíresebb a hely és impulzusra vonatkozó reláció:

:<math>\Delta x \Delta p_x \geq \frac{\hbar}{2}</math>

== Az energia-idő határozatlansági reláció ==
Az energia és idő közti határozatlansági reláció az előző sémába nem illik bele, mert az időnek nincs operátora. A kvantummechanika korai alapítóinak is világos volt, hogy egy
:<math>\Delta E \Delta t \geq \frac{\hbar}{2}</math>
alakú reláció fennáll, de nem volt rögtön világos, hogy mi <math>\Delta t</math>. A gyakorlatban ez a reláció pl. azt jelenti, hogy egy rövid életidejű állapot energiája csak nagyon gyengén határozott. Az állapot élettartama azonban nem egy, az állapothoz rendelhető operátor. Egy valamivel precízebb megfogalmazás a következő. Egy <math>\Psi</math> állapotban egy B mennyiségre fennáll a következő reláció:
:<math>\Delta_{\Psi} E \frac{\Delta_{\Psi}B}{\left| \frac{d \langle B \rangle}{dt}\right|} \geq \frac{\hbar}{2}</math>

==Hullámcsomag==
A részecskék hullámtermészete a de Broglie hipotézis óta benne volt a levegőben(lásd [[A kvantumelmélet alapvető kísérletei]]). A Schrödinger-egyenletnek vannak síkhullám megoldásai, de ezek nyilván nem azonosíthatóak egy részecskével, mert egyáltalán nem lokalizáltak. A síkhullám-megoldásokból azonban hullámcsomag alkotható, matematikailag egy Fourier-integrál formájában. Az egyszerűség kedvéért egy dimenzióban:
:<math>\Psi(x,t)=\int c(k) e^{i(kx-\omega(x)t)}dk</math>
Ezen integrál értéke azokon a pontokon lesz nagy, ahol az exponenciális tag nem túl erősen oszcillál, hiszen ha túl erős az oszcilláció, az integrál kiegyenlítődik és nullát kap. Tehát ott lesz nagy az integrál, ahol <math>kx-\omega t</math> közel konstans, vagyis:
:<math>\frac{\partial}{\partial k}\left( kx-\omega(k)t\right)=x- \frac{\partial \omega}{\partial k}t = 0 </math>
Ez hasonlít a tömegpont x=vt képletére, így a klasszikus sebesség hullámmechanikai megfelelője a csoportsebesség:
:<math>\vec{v}_{csop}=grad_{\vec{k}} \left( \omega \right)</math>

==Az impulzusmomentum operátor==
Klasszikusan az impulzusmomentum a kövektező összefüggéssel van definiálva:

:<math>\mathbf{L} = \mathbf{r} \times \mathbf{p}</math>

Ezt visszük át az operátoros reprezentációba, a hely és impulzus operátorokat beírva. Egyszerű behelyettesítésekkel igazolhatóak az alábbi képletek (amelyek nem csak a ''z'' komponensre állnak fennt, a többire csak permutálni kell az indexeket):

:<math>\mathbf{L}_z = \frac{\hbar}{i}\left( x\frac{\partial}{\partial y} - y\frac{\partial}{\partial x} \right)</math>

:<math>[\mathbf{L}_x, \mathbf{L}_y] = i \hbar \mathbf{L}_z </math>

:<math>\mathbf{L}^2 = \mathbf{L}_x^2 + \mathbf{L}_y^2 + \mathbf{L}_z^2</math>

'''L''' felcserélhető bármelyik komponensével. Ebből következik, hogy van közös sajátfüggvényük. Polárkoordinátás áttérés után a sajátérték probléma megoldható, eredményül megkapjuk a sajátfüggvényeket és a sajátértékeket. A ''z'' komponensre:

:<math>\lambda = m \hbar</math>
:<math>\psi_m = A e^{i m \phi}\,</math>

Az impulzusmomentum négyzetére:

:<math>\lambda = \hbar^2 l (l+1) \,</math>
:<math>\psi_{l,m} = \operatorname{sin}^{|m|} \theta P^m_l( \operatorname{cos} \theta ) e^{i m\phi}</math>

Itt ''P'' a módosított Legendre-polinomot jelöli, maga a sajátfüggvény az úgynevezett gömbfüggény, amely a két térbeli szög, és két másik egészszám függvénye. Ez utóbbiak felelnek meg mágneses- és mellékkvantumszámnak a hidrogénatom esetében.

==A Schrödinger-egyenlet szeparálása==
Amikor a Schrödinger-egyenletet centrális potenciálban oldjuk meg, a potenciál cska a sugár abszolutértékétől függ. Polárkoordinátás tárgyalásban érezhető, hogy a sugárfüggő rész leválasztható a szögfüggő résztől. Ez valóban így van, a hullámfüggvénynek van szorzatalakú megoldása, amelyben a sugárfüggés leválasztódik. A Schrödinger-egyenletbe visszaírva az két egyenletre esik szét. A szögfüggés az impulzusmomentumnál bevezetett sajátfüggvényeket (gömbfüggvények) és sajátértékeket adja, ez tehát minden centrális erőteres problémára ugyanaz. Egy speciális potenciálra, a hidrogénatomra, az integrálható problémáknál kidolgozzuk a megoldást.

==A spin és a Pauli-egyenlet==
A kísérleti bevezetőben említésre került Stern-Gerlach-féle kísérlet, amely tulajdonképpen a benne áthaladó részecskék impulzusmomentumát méri. A kísérletek csak úgy értelmezhetőek ellentmondásmentesen, ha feltételezzük, hogy a részecskéknek van saját impulzusmomentumuk is. Ezt '''spin'''nek nevezzük, és az '''S''' operátort rendeljük hozzá.

Az eddigi tárgyalásokban nem voltunk tekintettel erre a mennyiségre. Tudjuk, hogy van a részecskéknek impulzusmomentuma ('''L'''), ezt megkülönböztetésül pályamomentumnak nevezzük mostantól. A két momentum összegére bevezetjük a teljes impulzusmomentumot:
'''J = L + S'''. A pályamomentumnak ismertek a sajátértékei, a spinről pedig a kísérletek alapján belátható, hogy két féle értéke lehet: <math>+\frac{\hbar}{2}</math> és <math>-\frac{\hbar}{2}</math>.

A mágneses hatás leírásához a pályanyomatéknál elég volt a klasszikus analógia:

:<math>\mathbf{M} = -\frac{e}{2 m c } \mathbf{L}</math>

A spinhez tartozó mágneses momentumot a kísérletek alapján:

:<math>\mathbf{M}_S = -\frac{e}{m c } \mathbf{S}</math>

definiálja. Ezt a Schrödinger-egyenlet nem tartalmazza, azonban a pontos leíráshoz szükséges ennek figyelembevétele. Mivel a spin kétféle értéket vehet fel, és érvényes a szuperpozíció elve, ezért bevezetünk két rész-hullámfüggvényt amelyek lineárkombinációja adja a teljes hullámfüggvényt, az együtthatók pedig a spinsajátfüggvények (pl.: (1, 0) és (0, 1) ha vektorkénnt reprezentáljuk őket). A mágnesestérrel való kölcsönhatást klasszikus analógia alapján adjuk hozzá a Schrödinger-egyenlethez. Ismert klasszikus mechanikából a ponttöltés mozgásegyenlete (H a mágneses tér):

:<math>m\dot{v} = -e\left( \mathbf{E} + \frac{1}{c} \mathbf{v} \times \mathbf{H}\right)</math>

Belátható, hogy ezt a mozgásegyenletet előállító Hamilton-függvény (ez most másik H):

:<math>\mathbf{H} = \frac{1}{2m} \left(\mathbf{p} + \frac{e}{c}\mathbf{A} \right)^2 - e\Phi(r)</math>

Ezt operátorrá alakítva betesszük a Schrödinger-egyenletbe, és a hullámfüggvényként a spint is figyelembe vevő hullámfüggvényt tekintjük:

:<math>i \hbar \frac{d}{dt} \psi(t) = \left[ \frac{1}{2m} \left( \sigma \left(\mathbf{p} + \frac{e}{c}\mathbf{A} \right)\right)^2 - e\Phi(r) \right] \psi(t)</math>

Az így kapott egyenlet a Pauli-egyenlet. Felbukkantak a Pauli-mátrixok (<math>\sigma</math>, pontosabban a képletben a 3 mátrixból képzett vektor áll, és a mellette zárójelben szereplő mennyiséggel skalárisan kell szorozni, hiszen az is egy vektor). Ezek a spinnek az algebrájában szerepet játszó 2x2-es mátrixok, velük írhatóak fel a spinoperátorok is:

:<math>\mathbf{S}_x = \frac{\hbar}{2} \sigma_x</math>
:<math>\mathbf{S}_y = \frac{\hbar}{2} \sigma_y</math>
:<math>\mathbf{S}_z = \frac{\hbar}{2} \sigma_z</math>

A mátrixok explicit alakjait lásd [http://en.wikipedia.org/wiki/Pauli_matrices itt].

==Korrespondencia-elv, Ehrenfest-tétel==
Az eddigiekből látható, hogy a kvantummechanika működése és felépítése nagyban különbözik a klasszikus leírástól, a klasszikus törvények nem alkalmazhatóak változatlanul a mikrovilág leírására. Azonban a kvantumelméletet, mint mélyebb elméletet tekintve felmerül a kérdés, hogy nem tartalmazza-e valamilyen módon a klasszikus törvényeket. A válasz az, hogy igen, a klasszikus rendszerek felfoghatóak sok kvantumszámú összetett rendszerekként, ezért a kvantumosan megfogalmazott törvényeknek nagy kvantumszámokra történő (illetve a Planck-állandóval zérushoz tartó) határátmeneteit kell ekkor vizsgálnunk, és az állítás az, hogy ekkor visszkapjuk a megfelelő klasszikus törvényeket. Ezt az állítást korrespondencia-elvnek (megfeleltetési-elv) nevezzük, és megfogalmazása Niels Bohr nevéhez kötődik.

A korrespondencia-elv egyik ékes bizonyítéka az Ehrenfest-tétel. Tekintsük egy fizikai mennyiség operátorának várható értékét:

:<math>\overline{O}=\langle \psi | \mathbf{O} | \psi \rangle</math>

Számoljuk ki ennek időbeli változását a Schrődinger-egyenlet alapján. Ekkor levezethető, hogy abban az esetben, amikor az operátor nem függ az időtől (minden időfügés a hullámfüggvény változása miatt történik), akkor a követekző formula érvényes:

:<math>\frac{ d \overline{O}}{dt} = \frac{i}{\hbar} \langle \psi | [ \mathbf{H}, \mathbf{O}] | \psi \rangle</math>

Ha '''O''' helyére a hely vagy az impulzus operátorát írjuk, a következő ismerős összefüggéseket kapjuk:

:<math>\frac{ d \overline{x}}{dt} = \langle \psi | \frac{\partial \mathbf{H}}{ \partial p_x } | \psi \rangle</math>

:<math>\frac{ d \overline{p}_x}{dt} = -\langle \psi | \frac{\partial \mathbf{H}}{ \partial x } | \psi \rangle</math>

Ezek a klasszikus mechanikából ismert [[A_klasszikus_mechanika_elm%C3%A9leti_t%C3%A1rgyal%C3%A1sa#Kanonikus_egyenletek.2C_Hamilton-f.C3.BCggv.C3.A9ny | kanonikus egyenletek]].

Ha egy pontrészecske mozgását leíró Hamilton-operátort tekintjük, amely potenciált is tartalmaz:

:<math>\mathbf{H} = \frac{1}{2m} \left( \mathbf{p}_x^2 + \mathbf{p}_y^2 + \mathbf{p}_z^2 \right) + V(x, y, z)</math>

Akkor a helykoordinátákra a következő kifejezés adódik:

:<math>m \frac{d^2 \overline{x}}{dt^2} = - \frac{\overline{\partial V}}{\partial x}</math>

A baloldalon a gyorsulás, a jobboldalon a ható erő ismerhető fel, azaz visszakaptuk a Newton-törvényt. Amennyiben a potenciál lassan változik, sorfejtést alkalmazhatunk <math>\Delta x</math> szerint, és akkor a következő eredményt kapjuk:

:<math>m \frac{d^2 \overline{x}}{dt^2} = - \frac{\partial V}{\partial \overline{x}}</math>

azaz lassan változó potenciál esetén elég a koordináta értékeket átlagolni. Tulajdonképpen ez felel meg a klasszikus törvényeknek: amikor a távolságok kicsik a változó potenciálváltozáshoz képest, akkor beszélhetünk klasszikus részecskéről, mert nem követünk el nagy hibát (a sorfejtésben csak a vezető tag nagy), azonban atomi mércén már számos tag jelentős a sorfejtésben, ekkor a klasszikus számolási menet használhatatlan. Az Ehrenfest-tétel tehát az operátor várható értékén keresztül kapscsolatot teremt a klasszikus mechanika és a kvantummechanika között, egyben behatárolva az előbbi érvényességi körét.

==EPR-paradoxon, Bell-egyenlőtlenség==
A kvantummechanika furcsaságainak és klasszikus gondolkodással szembenálló működésének egyik leglátványosabb példája az Einstein-Podolsky-Rosen által felvetett gondolat kísérlet és annak interpretációja. A gondolatkísérlet egy összefonódott, eltávolodó kvantummechanikai rendszerre vonatkozik (például bomlásban keletkező két ellentétes spinű részecske, vagy két ellentétes polarizációval szétrepülő foton). A felvetés arra összpontosul, hogy mitörténik amikor megakarjuk mérni a valamely fizikai jelelmzőt, amelyre a teljes rendszerben megmaradási törvény érvényes (azaz, ha tudnánk az egyik "rész" értékét, például spinjét, abból meghatározható lenne a másiké).

A mérési problematikát Einsteinék a következő két lehetőségben foglalták össze:

*Vagy az egyik rendszeren végzett mérésnek hatása van a másik B rendszerre, és ezáltal egyetlen méréssel meghatározható mindkét rész állapota

*Vagy van valami olyan rejtett tulajdonság, amelyet a kvantummechanika nem vesz figyelembe, ezért nem teljes a leírásunk a jelenségről, és ez határozza meg, hogy mit is fogunk mérni.

Az első lehetőség a relativitás elmélettel, és a kauzalitással lenne ellentmondásban, a második rejtett paraméterek bevezetését tenné szükségessé, amelyek a kvantummechanikánál mélyebb elméletre utaló jelek lennének.

Az első nyilván tarthatatlan, a kauzalitást eddig minden tapasztalatunk igazolta, ezért a második állítást kezdték el részletesen vizsgálni. Amennyiben létezik rejtettparaméteres elmélet, akkor annak is kell jóslatokat adnia egyes mérehető mennyiségekre, ugyanígy a kvantummechanika is ad jóslatokat. Levezethető, hogy például két kimenetű kísérletekben két mérhető mennyiség korrelációjára általános limit adható (a háromszög egyenlőtlenség felhasználásával), ez a limit vezet a Bell-egyenlőtlenséghez. Ugyanakkor a kvantummechanikából is levethető a két mennyiség korrelációja. Az eredmények vizsgálatával azt látjuk, hogy egyes esetekben a kvantummechanika sérti a rejtettparamáteres moellre fennálló limiteket, azaz az előbbi nem lehet konzisztens alap a kvantumelmélet leírásához!

A gyakorlatban a Bell által levezetett egyenlőség kevésbé használható (nehezebb ilyen kísérletet készíteni), heleytte az általánosabb (általánosabb rejtett paraméteres modelleket magábanfoglaló) [http://en.wikipedia.org/wiki/CHSH_inequality CHSH] egyenlőtlenség használatosatos.

A kísérletek elvégzésével megmérhetők a korrelációk a valóságban is. Az eredmény: a kvantummechanikai leírás minden esetben helyes jóslatot ad.

Ezek alapján nem konstruálható rejtettparaméteres modell, és elvetettük a távolhatás lehetőségét is. Ezek után felmerül a kérdés, hogy mi a helyzet az EPR paradoxonnal? A válasz az, hogy rossz a kérdésfelvetés. A paradoxon oka, hogy a '''kvantummechanikai rendszernek NINCS részrendszere'''! Nem beszélhetünk a részrendszernek állapotáról, mennyiségeiről, a részrendszerek össze vannak fonódva, csak együtt tárgyalhatók.

A történet tovább bonyolítható, problémák jelentkeznek abban, hogy a kvantummechanikai valószínűség fogalom kissé eltér a Kolmogorovi klasszikus valószínűség fogalomtól. Ha hozzávesszük azt is, hogy a kvantummechanikai valószínűségek nem tekinthetők önálló eseményekként, hanem valamilyen korábbi kiváltó okokkal állnak kapcsolatban feltételes valószínűségeken keresztül, akkor létesíthető olyan rejtett paraméteres modell, amelyet nem sértenek a kísérletek, és a kvantummechanikai jóslatok, ez a gondolatmenet azonban teljes determinizmushoz vezet.

{{Záróvizsga}}

Geometriai optika és alkalmazásai

2012-01-10T15:19:24Z

Bertalan:

''Megjegyzés:'' ez a tétel nagyon erősen követi Cserti József "Optika és Relativitáselmélet" tárgyra készített diáit, lényegében azok kivonata a tétel tematikáját figyelembe véve. Ezekből a diákból is nagyon jól lehet tanulni, megtalálhatóak Cserti József honlapján.<ref>Cserti József [http://complex.elte.hu/~cserti/]</ref>
==Bevezető, fény, fénysugár==
A geometriai optika nem foglalkozik a fény hullám, vagy részecske tulajdonságával. Pusztán a fény viselkedését írja le olyan távolság- és időértékeknél, melyek jóval nagyobbak, mint a fény néhány mennyiségi jellemzője.

Alapfeltevései <ref>Feynman: Mai fizika 3., 7-8. old.</ref>:
* a fény egyenes vonalban terjed, ha homogén közegben halad és semmi sincs az útjában
* közeghatárokon megtörik és/vagy visszaverődik
* visszaverődésnél a beesési és visszaverődési szög megegyezik
* törésnél a beesési és törési szög közötti összefüggést a Snellius-Descartes törvény adja meg:
<math>sin \vartheta_b = n sin \vartheta_t</math>, ahol <math>\vartheta_b</math> a beesési, <math>\vartheta_t</math> a törési (transzmissziós szög), n egy arányszám, az adott közeg (vákuumhoz viszonyított) törésmutatója.
* a fénysugarak közt egymásra hatás nem mutatkozik

==A Fermat-elv==
A Fermat-elv, vagy legrövidebb idő elve azt mondja ki, hogy két pont között a fény az összes lehetséges út közül azt választja, aminek megtételéhez a legrövidebb időtartam szükséges.<ref>Feynman: Mai fizika 3., 10-12. old.</ref>

Közegben a fény sebessége: <math>\frac{c_0}{n}</math>, ahol n a fent említett törésmutató (mely függhet anyagtól, helytől, vagy a fény színétől), <math>c_0</math> pedig a vákuumbeli fénysebesség, értéke a Maxwell-egyenletek alapján:
<math>c_0 = \frac{1}{\sqrt{\epsilon_0 \mu_0}}</math>, ahol <math>\epsilon_0 = 8.85 10^{-12} \frac{C^2}{N m^2}</math> a vákuum dielektromos állandója. <math>\mu_0 = 4 \pi 10^{-7} \frac{Vs}{Am}</math> a vákuum permeabilitása. A fentiek alapján: <math>c_0 = 299792458 \frac{m}{s}</math>.

A Fermat-elv tehát azt mondja ki, hogy a fény két pont között a legrövidebb idő alatt megtehető utat teszi meg. Kicsit pontosabban a fénysugár pályáját sok más szomszédos, csaknem azonos időt igénylő terjedési út közül választja.<ref>Feynman: Mai fizika 3., 16-17. old.</ref> Ennek kiszámítása a következőképpen történik:
[[Kép:optpalya.png|center|200px]]
A fenti pályára vett integrálnak (ahol n('''r''') helyfüggő változó) szélsőértéket kell adnia. <math>\int_A^{B} n(\mathbf{r})ds = extremum</math>, ahol '''r''' a helyvektor<ref>Optika és relativitáselmélet, 1. előadás, 16. oldal, [http://complex.elte.hu/~cserti/okt/O_SpR-1.pdf]</ref>. Pl.:
[[Kép:Fenyut.png|center|500px|Fényút]]

==Az eikonál közelítés==
{| {{széptáblázat}}
| || Homogén eset || Inhomogén eset
|-
| Hullámegyenlet || <math>\frac{\partial^2 \phi(\mathbf{r},t)}{\partial t^2} = c^2 \triangle \phi</math> || <math>\frac{\partial^2 \phi (\mathbf{r},t)}{\partial t^2} = c^2(\mathbf{r})\triangle \phi</math>
|-
| Megoldása || <math>\phi(\mathbf{r},t) = Ae^{i(\mathbf{kr}-\omega t)}</math> || <math>\phi(\mathbf{r},t) = A(\mathbf{r},t)e^{i\varphi(\mathbf{r},t)}</math>
|}

Az inhomogén esetben felírt megoldás csak a lassan változó amplitudójú (A), és gyorsan változó fázisú (<math>\phi</math> - <math>\lambda</math> távolságon <math>2 \pi</math>-t változik) síkhullámokra vonatkozik. Lassan változó alatt azt értem, hogy a karakterisztikus hossz <math>\left(L \sim \frac{1}{\nabla n}\right)</math> jóval nagyobb, mint a hullámhossz (<math>\lambda</math>). Tehát inhomogén esetben, lassan változó amplitudó és gyorsan változó fázis esetén <math>\varphi (\mathbf{r},t)</math> hordozza az információt, ez a geometriai optika. <ref>Optika és relativitáselmélet, 6. előadás, 2. oldal [http://complex.elte.hu/~cserti/okt/O_SpR-6.pdf]</ref>

[[File:lassu_valt.png|thumb|Lassan változó közeg<ref>Optika és relativitáselmélet, 6. előadás, 2. oldal [http://complex.elte.hu/~cserti/okt/O_SpR-6.pdf]</ref>]]

Írjuk be a fenti inhomogén megoldást a hullámegyenletbe!

:<math>\frac{\partial \phi (\mathbf{r},t)}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial t} \left( Ae^{i\varphi} \right) = \left(\frac{\partial A}{\partial t} + iA\frac{\partial \varphi}{\partial t}\right)e^{i\varphi}</math>

Tehát:

:<math>\frac{\partial^2 \phi (\mathbf{r},t)}{\partial t^2} = \left[\frac{\partial^2 A}{\partial t^2} + 2i\frac{\partial A}{\partial t}\frac{\partial \varphi}{\partial t} + iA\frac{\partial^2 \varphi}{\partial t^2} - A\left(\frac{\partial \varphi}{\partial t} \right)^2\right]e^{i(\varphi (\mathbf{r},t))} \approx -A\left(\frac{\partial \varphi}{\partial t} \right)^2e^{i(\varphi (\mathbf{r},t))}</math>

:<math>c^2(\mathbf{r})\triangle \phi = \color{red}- \color{black}A c^2(\mathbf{r})(\operatorname{grad}\varphi)^2 e^{i\varphi(\mathbf{r},t)}</math>

A fentiek alapján tehát:
:{| {{széptáblázat}} border="1"
|<math>\left(\frac{\partial \varphi}{\partial t} \right)^2 = c^2(\mathbf{r})(\operatorname{grad}\varphi)^2</math> || Ez az eikonál-egyenlet.
|-
|}

Ahol <math>c(\mathbf{r}) = \frac{c_0}{n(\mathbf{r})}</math>, <math>n(\mathbf{r})</math> pedig a lokális (helyfüggő) törésmutató. A <math>\varphi = const</math> felületek adják meg az állandó fázisú felületeket, vagyis a hullámfrontokat. Az eikonál-egyenlet ezek mozgását írja le.

Fejtsük sorba a fázist: <math>\varphi (\mathbf{r},t) = \varphi_0 + \frac{\partial \varphi}{\partial \mathbf{r}} \mathbf{r} + \frac{\partial \varphi}{\partial t} t + ...</math>

Majd írjuk be <math>\phi (\mathbf{r},t)</math> helyére: <math>\phi (\mathbf{r}, t) = Ae^{i\varphi} = Ae^{i\varphi_0}e^{i\left( \nabla \varphi \mathbf{r} + \frac{\partial \varphi}{\partial t} t \right)} \sim Ae^{i(\mathbf{kr} - \omega t)}</math>

A fentiek fényében:

:{| {{széptáblázat}}
|<math>\mathbf{k}(\mathbf{r},t) = \operatorname{grad}\varphi(\mathbf{r},t)</math>
|-
|<math>\omega(\mathbf{r},t) = -\frac{\partial \varphi}{\partial t}</math>
|-
|}

Az eikonál-egyenlet egyszerűsödik, ha <math>\omega</math> állandó, ekkor: <math>\varphi(\mathbf{r},t) = -\omega t + \psi (\mathbf{r})</math>. Az jobb oldal utolsó tagjának neve "rövidített eikonál".

:<math>\frac{\partial \varphi}{\partial t} = -\omega(\mathbf{r},t)</math>

És:

:<math>\operatorname{grad}\varphi = \operatorname{grad}\psi</math>

E kettőből jön ez:

:<math>\omega^2 = \left( \frac{c_0}{n(\mathbf{r})} \right)^2 (\operatorname{grad}\psi)^2 = \left( \frac{c_0}{n(\mathbf{r})} \right)^2 \mathbf{k}^2(\mathbf{r})</math>

====Az eikonál közelítés korlátai====
A levezetés során a következő közelítéseket használtuk ki:
*Az amplitudó változása a hullámhosszal szorozva kisebb az amplitudónál,
*A hullámfelület görbületi sugara sokkal nagyobb a hullámhossznál,
*Az amplitudófelület görbületi sugara és a hullámhossz aránya sokkal nagyobb a hullámhossz és az amplidutó arányánál,
*A hullámfront lineáris méretei sokkal nagyobbak a hullámhossznál.

Ezek fényében az eikonál közelítés nem használható például fényforrások illetve fókuszpontok közelében, fény-árnyék határán. Továbbá mindezen feltételek erősen függenek a tekintett hullám hullámhosszától.

==Analógia a klasszikus mechanikával==
A fentiek fényében itt csak egy rövid táblázatban foglalnám össze a legfontosabbakat<ref>Optika és relativitáselmélet, 6. előadás, 4. oldal [http://complex.elte.hu/~cserti/okt/O_SpR-6.pdf]</ref>:

{| {{széptáblázat}}
| || Pontmechanika || || Geometriai optika ||
|-
| Hatásintegrál || <math>S(\mathbf{r},t) = \int\limits_{P_0}^P L(\mathbf{r},\mathbf{\dot{r}}) dt</math> || || <math>\varphi(\mathbf{r},t)</math> || Eikonál
|-
| || <math>\mathbf{p} = gradS</math> || || <math> \mathbf{k} = grad\varphi</math> ||
|-
| || || <math>\mathbf{p} \sim \mathbf{k}</math> || ||
|-
| || || <math>\mathbf{p} = \hbar\mathbf{k}</math> || ||
|-
| || <math>E = -\frac{\partial S}{\partial t}</math> || || <math>\omega = -\frac{\partial \varphi}{\partial t}</math> ||
|-
| || || <math>E \sim \omega \mathbf{}</math> || ||
|-
| || || <math>E = \hbar\omega \mathbf{}</math> || ||
|-
| Hamilton-Jacobi egyenlet || <math>-\frac{\partial S}{\partial t} = H(\mathbf{r},\mathbf{p} = grad S)</math> || || <math>-\frac{\partial \phi}{\partial t} = \Omega(\mathbf{r},\mathbf{k} = grad \phi)</math> || Eikonál-egyenlet
|-
| || <math>E = H(\mathbf{r}, \mathbf{p})</math> || || <math>\omega = \Omega(\mathbf{r},\mathbf{k})</math> || Diszperziós reláció
|-
| E mozgásállandó || <math>S(\mathbf{r},t) = -Et + S_0 (\mathbf{r})</math> || || <math>\varphi(\mathbf{r},t) = -\omega t + \psi (\mathbf{r}) </math> || <math>\omega</math> mozgásállandó
|-
| Rövidített Hamilton-Jacobi egyenlet || <math>E = H(\mathbf{r},\mathbf{p} = grad S)</math> || || <math>\omega = \Omega(\mathbf{r},\mathbf{k} = grad \varphi)</math> || Rövidített eikonál-egyenlet
|-
| Hamilton-féle kanonikus egyenletek || <math>\dot{r} = \frac{\partial H(\mathbf{r},\mathbf{p})}{\partial{p}}</math> || || <math>\dot{r} = \frac{\partial \Omega (\mathbf{r},\mathbf{k})}{\partial{k}}</math> || Csoportsebesség
|-
| Hamilton-féle kanonikus egyenletek || <math>\dot{p} = -\frac{\partial H (\mathbf{r},\mathbf{p})}{\partial \mathbf{r}}</math> || || <math>\dot{k} = -\frac{\partial \Omega (\mathbf{r},\mathbf{k})}{\partial \mathbf{r}}</math> || Hamilton-féle sugáregyenletek
|-
| Maupertuis-elv || <math>\delta \int \mathbf{p} dr = 0</math> || || <math>\delta \int \mathbf{k} dr = 0 = \frac{\omega}{c_0} \delta \int n(\mathbf{r}) dl \sim \delta \int n(\mathbf{r}) dl = 0 </math> || Optikai úthossz ~ Fermat-elv
|}

A Hamilton-féle sugáregyenletekből paraxiális közelítésben levezethető a lencsetörvény.

''Megjegyzés:'' ugyanez Cserti József diáján megvan, (szerintem) kicsit átláthatóbban, ezért ezt az oldalt beszúrtam képként.

[[File:dia.png|thumb|alt=Alt text|Analógia a klasszikus mechanikával<ref>Optika és relativitáselmélet, 6. előadás, 5. oldal [http://complex.elte.hu/~cserti/okt/O_SpR-6.pdf]</ref>|1000 px|center]]

===Ami az analógiából hiányzik===
Pontmechanikában a Lagrange-függvény:

<math>L(\mathbf{r},\mathbf{\dot{r}}) = \mathbf{p}\mathbf{\dot{r}} - H</math>, ahol <math>\mathbf{p} = \frac{\partial L}{\partial \mathbf{\dot{r}}}</math> és <math>H = \mathbf{p}\mathbf{\dot{r}}-L = \frac{\partial L}{\partial \mathbf{\dot{r}}}\color{red}\mathbf{\dot{r}}\color{black} - L</math>

Keressük meg ugyanezt az optikában:

<math>L(\mathbf{r},\mathbf{\dot{r}}) = \mathbf{k}\mathbf{\dot{r}} - \Omega</math>, ahol <math>\Omega = c(\mathbf{r})\left| k \right|</math> és <math>\mathbf{\dot{r}} = \frac{\partial \Omega}{\partial \mathbf{k}} = c(\mathbf{k})\frac{\mathbf{k}}{\left| \mathbf{k} \right|}</math>

A fentiek alapján a Lagrange-függvény az optikában:

<math>L(\mathbf{r},\mathbf{\dot{r}}) = \left( c(\mathbf{r})\frac{\mathbf{k}}{\left| \mathbf{k} \right|} \right)\mathbf{k} - c(\mathbf{r})\left| \mathbf{k} \right| \equiv 0</math>
A Lagrange-függvény az optikában azonosan nulla.

A mechanikai törésmutató meghatározásánál figyelni kell arra, hogy az analógiát ne a Fermat-elvből levezetett <math>\omega \delta \int \frac{1}{c(\mathbf{r})} dl</math> és ennek mintájára felírt <math>\delta \int \frac{1}{v(\mathbf{r})} dl</math> egyenlet között vegyük, mert <math>c(\mathbf{r})</math> a fázissebesség, a mechanikai analógiában látott <math>\frac{1}{v(\mathbf{r})}</math>-ben a <math>v(\mathbf{r})</math> a csoportsebességnek feleltethető meg, melynek értéke az optikában: <math>\mathbf{v}_g = \frac{\partial \omega}{\partial \mathbf{k}}</math>.
A helyes analógia a Fermat-elv és a Maupertuis-elv közötti megfeleltetés. Ezt végigszámolva a mechanikában a törésmutató értékére a következőt kapjuk: <math>0 = \delta \int \mathbf{p}(\mathbf{r}) d\mathbf{r} = \delta \int \left| p \right| dl = \delta \int \sqrt{2m(E-V(\mathbf{r}))}dl</math>, mivel <math>E = \frac{\mathbf{p}^2}{2m} - V(\mathbf{r})</math>.
Ennek nyomán a törésmutató analogonja a mechanikában: <math>n(\mathbf{r}) = \sqrt{E-V(\mathbf{r})}</math>. <math>V(\mathbf{r}) = eU(\mathbf{r})</math> alkalmas megválasztásával elektrosztatikus lencsék/tükrök készíthetőek.

:{| {{széptáblázat}}
| Részecske || Optika
|-
|<math>n(E,\mathbf{r})</math> függ a részecske energiájától, diszperzív közeg || <math>n(\omega,\mathbf{r})</math> diszperzió
|-
|Éles képhez monoenergetikus nyaláb kell. || Éles képhez monokromatikus fény kell.
|-
|<math>n(\mathbf{r})</math>-re nincs korlát || n > 1, mert <math>c < c_0</math>
|}

==Paraxiális közelítés==
Paraxiális közelítésben hengerszimmetrikus, tengelyközeli rendszereket vizsgálunk<ref>Optika és relativitáselmélet, 7. előadás, 5. oldal [http://complex.elte.hu/~cserti/okt/O_SpR-7.pdf]</ref>.
*A tengelytől való távolság kisebb, mint bármilyen releváns fókusztávolság, vagy rendszerméret.
*A sugarak szögei kicsik a tengelyhez képest. <math>\left( \vartheta \ll 1 \right)</math>

Ebben a közelítésben: <math>sin\vartheta \approx tg\vartheta \approx \vartheta</math>

A fénysugarakat az optikai tengelytől mért (előjeles!) y távolsággal, és szintén az optikai tengellyel bezárt (előjeles!<ref>Negatív: óramutató járásával megegyező, pozitív: óramutató járásával ellentétes.</ref>) szöggel jellemezzük.

[[Kép:paraxialis.png|center|300px|Paraxiális közelítés]]

==Mátrix reprezentáció, leképezési törvények==
Tetszőleges paraxiális rendszerben a fény terjedése leírható mátrix-, és vektorműveletekkel<ref>A teljes fejezet az Optika és relativitáselmélet 7. órájának fóliáiból lett összeálltva</ref>:

<math>\left( \begin{array}{c}y\\n_1 \vartheta\end{array} \right) \rightarrow \left( \begin{array}{c}y^{,}\\n_2\vartheta^{,} \end{array} \right) \Rightarrow \left( \begin{array}{c}y^{,}\\n_2\vartheta^{,} \end{array} \right) = \mathbf{M}\left( \begin{array}{c}y\\n_1 \vartheta\end{array} \right)</math>

Három alapesetre felírhatunk mátrixokat, amiket aztán építőkövekként használhatunk összetett rendszerek leírására. Az alapesetek:

====Szabad terjedés====

A fény adott, <math>n</math> törésmuattójú közegben <math>d</math> távolságot tesz meg. Ilyenkor a szög és a törésmutató nyilván nem változik (vagyis kettejük szorzata sem). Viszont <math>y</math> <math>\vartheta</math> függvényében igen, mégpedig a következőképpen:

:<math>y' = y + d \operatorname{tg} \vartheta \approx y + d \vartheta = y + \frac{d}{n} n \vartheta</math>

Ebből már könnyű felírni a szabad terjedés mátrixát:

:<math> \mathbf{M}_{szab} =
\begin{pmatrix}
1 & \frac{d}{n} \\
0 & 1
\end{pmatrix}
</math>

====Törés gömbfelületen====

A fény egy gömb felületű közeghatáron halad keresztül az ábra szerint. <math>\alpha \approx -\frac{y}{R}</math>, és <math>y' = y</math>.

[[File:gomb.png|thumb|Fény törése gömbfelületen|center|400 px]]

A Snellius-Descartes-törvény kis szögekre: <math>n_1(\vartheta - \alpha) \approx n_2(\vartheta' - \alpha)</math>

Vagyis: <math>n_2\vartheta' = \frac{n_1 - n_2}{R}y + n_1\vartheta</math>

A törés mátrixa így:

:<math> \mathbf{M}_{tores} =
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
\frac{n_1 - n_2}{R} & 1
\end{pmatrix}
</math>

Fontos észrevenni, hogy egy konvenciót hazsnáltunk: <math>R</math> előjele a görbület irányától függően lehet pozitív, és negatív. Ha az ábrán látott eset áll fenn, akkor <math>R</math> pozitív. Ha az ellenkező (a gömb középpontja a másik oldalon van), akkor negatív. Ez nem függ a fénysugár irányától! Ha a fénysugár megfordul, akkor is ugyanezt a konvenciót kell használni!

Mégegy megjegyzendő, hogy látszik, hogy <math>R \rightarrow \inf</math> esetre visszakapjuk az egységmátrixot. Ennek így is kell lennie, hiszen ez a sík törőfelület, ahogy <math>y</math> és <math>n\vartheta</math> is állandó.

====Visszaverődés gömbfelületről====

Ez az eset hasonlít az elsőre (jelölések szempontjából is) azzal a kivétellel, hogy a fénysugár nem megtörik, hanem visszaverődik, és ugyanabban közegben halad tovább.

Szintén igazak az előbbi <math>\alpha \approx -\frac{y}{R}</math>, és <math>y' = y</math> összefüggések, ám <math>\alpha - \vartheta' = \vartheta - \alpha</math>. Így:

:<math>n\vartheta' = - \frac{2n}{R}y - n\vartheta</math>

Így a visszaverő gömbfelület mátrixa:

:<math> \mathbf{M}_{tukor} =
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
\color{red}-\color{black}\frac{2n}{R} & \color{red}-\color{black}1
\end{pmatrix}
</math>

Itt is lehet látni, hogy <math>R \rightarrow \inf</math> esetben a síktükröt kapjuk vissza.

====Összefoglalva====

{| {{széptáblázat}}
| Szabad terjedés || Törés gömbfelületen || Visszaverődés gömbfelületről
|-
| <math>\begin{pmatrix}
1 & \frac{d}{n} \\
0 & 1
\end{pmatrix}</math> || <math>\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
\frac{n_1 - n_2}{R} & 1
\end{pmatrix}</math> || <math>\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
\color{red}-\color{black}\frac{2n}{R} & \color{red}-\color{black}1
\end{pmatrix}</math>
|}

A mátrix reprezentációnál a fénysugarat követve a mátrixokat balról jobbra szorozzuk össze, így megkapjuk a teljes rendszert leíró optikai mátrixot. (Fontos, hogy a fénysugarat kövessük, mert menet közben pl. meg is fordulhat.) Tetszőleges paraxiális optikai rendszerre igaz, hogy <math>detM = \pm 1</math>.

===A leképezés fogalmai===
*'''Fókuszpont''': minden párhuzamos fénysugarat egy pontba gyűjtünk össze, y y'-től függetlenül valahol nulla lesz.
*'''Leképezés''': egy pont leképezése során a pontból kiinduló fénysugarat <math>\vartheta</math>-tól függetlenül egy másik pontba gyűjtjük össze.

===A gömbtükör fókusza===
A rendszer leképezési mátrixa egy szabad terjedési mátrixból és egy visszaverődési mátrix szorzatából áll, balról jobbra összeszorozva:
<math>\left( \begin{array}{c}y^{,}\\ \vartheta^{,} \end{array} \right) = \mathbf{M}\left( \begin{array}{c}y\\0 \end{array} \right), \mathbf{M} = \left( \begin{array}{cc}1 + \frac{2d}{R} & \frac{d}{n}\\-\frac{2n}{R} & -1\end{array} \right)</math> (Theta azért nulla, mert a tengellyel párhuzamosan érkeznek a sugarak:
[[Kép:gombfok.png|center|300px|Gömbtükör fókusza]]
<math>\left( \begin{array}{c}y^{,}\\ \vartheta^{,} \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c}\left( 1 + \frac{2d}{R} \right)y\\-\frac{2n}{R}y \end{array} \right) \rightarrow y^{,} = \left( 1 + \frac{2d}{R} \right)y</math>
És mivel a fókuszpontban y' = 0, ezért <math>d \equiv f = -\frac{R}{2}</math>

===A gömbtükör leképezési törvénye===
A rendszer leképezési mátrixa most egy tárgytól a tükörig tartó szabad terjedésből, egy visszaverődésből, és egy tükörtől a leképezésig tartó szabad terjedésből áll. A terjedési mátrix e három szorzata: <math>\mathbf{M} = \left( \begin{array}{cc}1 + \frac{2k}{R} & k + \left( 1 + \frac{2k}{R} \right)t \\-\frac{2}{R} & -1-\frac{2t}{R}\end{array} \right)</math>

Mivel y' a leképezésnél független <math>\vartheta</math>-tól, ezért a mátrix első sorának második eleme nullát ad, így (a gömbtükör fókuszára voantkozó összefüggés felhasználásával) megkapjuk a már ismert leképezési törvényt:
<math>k + \left( 1 + \frac{2k}{R} \right)t = k + \left( 1 - \frac{k}{f} \right)t = 0 \rightarrow \frac{1}{f} = \frac{1}{k} + \frac{1}{t}</math>

===Vékony lencse fókusza===
Egy vékony lencsénél két törőfelületről beszélhetünk, melyek két, <math>R_1</math> és <math>R_2</math> sugarú gömbfelületből állnak. A lencse anyagának törésmutatója n, a lencsét körülvevő közegé 1. A bal oldali törőfelület mátrixa <math>M_L</math>, a jobb oldalié <math>M_R</math>:

[[Kép:lencsefok.png|center|200px]]

<math>\color{red}M_R\color{black} = \left( \begin{array}{cc}1 & 0\\\frac{n-1}{R_2} & 1\end{array} \right)</math>
<math>\color{red}M_L\color{black} = \left( \begin{array}{cc}1 & 0\\\frac{1-n}{R_1} & 1\end{array} \right)</math>

Ezek szorzata a rendszert leíró mátrix ezek szorzata (balról jobbra haladva, előjelesen):

<math>M = M_R M_L = \left( \begin{array}{cc}1 & 0\\(n - 1)\left( \frac{1}{R_2} - \frac{1}{R_1} \right) & 1\end{array} \right)</math>

Az optikai tengellyel párhuzamosan beérkező fénysugár változása a rendszeren való áthaladás után:

<math>\left( \begin{array}{c}y^{,} \\ \vartheta^{,} \end{array} \right) = M\left( \begin{array}{c}y \\\vartheta \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c}y \\yM_{21} \end{array} \right)</math>

És mivel:
[[Kép:sugarmenet.png|center|500px]]

Így <math>M_{21} = -\frac{1}{f}</math>, tehát a fókusztávolság: <math>\frac{1}{f} = \color{red}-\color{black}M_{21} = (n-1)\left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)</math>.

===Vékony lencse leképezése===
A vékony lencse leképezésének leírásához három mátrixot kell figyelembe vennünk, egyszer a [[tárgytávolságnyi]] szabad terjedés mátrixát, egyszer a törés mátrixát (a fent megismert összefüggés alapján), egyszer pedig a lencsétől a képtávolságig terjedő szabad terjedés mátrixát. Ezeket összeszorzova kapjuk meg a teljes optikai rendszer mátrixát, ami a következőképpen néz ki:

<math>M = \left( \begin{array}{cc}1 & k\\0 & 1\end{array} \right) \left( \begin{array}{cc}1 & 0\\-\frac{1}{f} & 1\end{array} \right) \left( \begin{array}{cc}1 & t\\0 & 1\end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc}1 - \frac{k}{f} & k + t - \frac{kt}{f}\\-\frac{1}{f} & 1 - \frac{t}{f}\end{array} \right)</math>

Mivel leképezésnél <math>y^{,}</math> független <math>\vartheta</math>-tól, ezért <math>M_{12} = 0 \rightarrow k + t - \frac{kt}{f} = 0 \rightarrow \frac{1}{f} = \frac{1}{k} + \frac{1}{t}</math>. Azaz itt is igaz a leképezési törvény.

===Összetett optikai rendszerek===
Összetett optikai rendszereknél nem mindig igaz elsőre a leképezési törvény, de mint látni fogjuk, kis trükkel újra igazzá tehetjük.
*Sok egymás melletti vékony lencse esetén esetén a dioptriák <math>\left( D = \frac{1}{f} [1/m] \right)</math> összeadódnak.
*Vastag lencsék esetén szükség van az úgynevezett fősíkok bevezetésére. A fősíkok (lásd lejjebb) használatával a leképezési törvény újra igazzá tehető:

[[Kép:vastaglencse.png|center|300px]]

A tárgy-, és a képtávolságot a fősíkoktól mérve a leképezési törvény ismét igaz lesz. A fősíkok kiszámítása a következőképpen történik:

<math>t_0 = f\frac{d}{R_2}\frac{n-1}{n}, k_0 = -f\frac{d}{R_1}\frac{n-1}{n}</math>

A fókusztávolságot vastag lencsék esetén a következő összefüggés adja meg (ez a lencsekészítők alapképlete). Egyébként ez három mátrix összeszorzásából ered: a vékony lencse jobb-, és bal oldali törőmátrixa közé be kell iktatni egy n törésmutatójú közegben történő szabad terjedés mátrixát (ezzel jelezzük, hogy vastag lencséről van szó). E három mátrix szorzatából lehet megkapni a vastag lencse, mint optikai rendszer mátrixát.

A fókusztávolságot lencsékre a rendszermátrix második sorának első eleméből lehet megkapni (mint fentebb láthattuk): <math>\frac{1}{f} = (1 - n)\left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} + d\frac{n - 1}{nR_1 R_2} \right)</math>

===Általános leképezés===
Teljesen általános leképezés esetén a leképezési mátrix: <math>M = \left( \begin{array}{cc}M_{11} & M_{12}\\M_{21} & M_{22}\end{array} \right)</math>. Ezzel az a probléma, hogy nem lehet tudni, hogy hol a rendszer eleje és vége. Így módosítjuk egy kicsit: <math>M^{,} = \left( \begin{array}{cc}1 & k_0\\0 & 1\end{array} \right) \left( \begin{array}{cc}M_{11} & M_{12}\\M_{21} & M_{22}\end{array} \right) \left( \begin{array}{cc}1 & t_0\\0 & 1\end{array} \right)</math>
<math>k_0</math> és <math>t_0</math> alkalmas megválasztásával (és kihasználva azt a tényt, hogy '''tetszőleges paraxiális optikai rendszer leképezési mátrixának determinánsa <math>detM = \pm 1</math>):''' <math>t_0 = \frac{1}{M_{21}} \left( detM - M_{22} \right) = \frac{1}{M_{21}} \left( \pm 1 - M_{22} \right), k_0 = \frac{1}{M_{21}} \left( detM - M_{11} \right) = \frac{1}{M_{21}} \left( \pm 1 - M_{11} \right)</math>

Így <math>M^{,}</math> a következőképpen egyszerűsödik:

<math>M^{,} = \left( \begin{array}{cc}1 & \frac{1 - detM}{M_21}\\M_{21} & 1\end{array} \right)</math>, ami - mivel <math>detM = \pm 1</math> - <math>M^{,}\left( \begin{array}{cc}1 & 0\\M_{21} & 1\end{array} \right)</math>. Láttuk, hogy vékony lencséknél a mátrix éppen így néz ki, így meg tudjuk mondani a fókusztávolságot: <math>\frac{1}{f} = -M_{21}</math>.

==Optikai eszközök (távcső, mikroszkóp), felbontóképesség==
Az optikai eszközök közül néhányról csak említés szintjén, és a címben szereplő távcsőről és mikroszkópról részletesebben fogok írni.

===Vetítő, fényképező, nagyítólencse, szemüveg===
*Vetítő: egy egyszerű lencse (és egy tükör) segítségével a tárgyról távoli, nagyított képet állít elő.
*Fényképező: távoli tárgyról készít kicsinyített, valódi képet tükrök, lencsék és blendék (fényerőszabályzók) használatával. A képek felvétele fényérzékeny anyagra, vagy újabban CCD-chipek segítségével valamilyen digitális tárolóegységre (általában memóriakártya) történik.
*Nagyítólencse (lupe): nagyított, virtuális (k < 0) képet készít a fókusztávolságnál ''közelebb'' lévő tárgyakról:
[[Kép:lupe.png|center|400px|Lupe]]
A lupe nagyító tulajdonságát két szempontból is érdemes megvizsgálni, az egyik a '''laterális nagyítás''' (képméret/tárgyméret):
<math>N = \frac{y_k}{y_t} = \frac{-k}{t} = \frac{f}{f - t}</math>
A másik a szögnagyítás:
<math>N_{sz\ddot{o}g} = \frac{\theta_k}{\theta_t} \approx \frac{tg\theta_k}{tg\theta_t} = \frac{y_k/(-k)}{y_t/L_0} = \frac{-k}{t}\frac{L_0}{-k} = \frac{L_0}{t} \approx \frac{L_0}{f}</math>, mivel <math>k > L_0 \gg f \rightarrow t \approx f</math>

A lupe azért hasznos, mert a tisztánlátás távolsága körülbelül <math>L_0 \sim 25 cm \mathbf{}</math> (viszonylag szubjektív adat), a lupe segítségével pedig ennél nagyobb távolságú tárgyakat is tisztán láthatóvá tehetünk.
*Szemüveg: korrekciós lencse a szemlencse elé (a szemlencse kb. 60-64 dioptriás). ''Rövidlátás'' esetén a fénytörés túl erős, a kép a retina előtt fókuszálódik, ''szórólencse'' kell (D < 0). ''Távollátás'' esetén a fénytörés nem elég erős, a kép a retina mögött fókuszálódik, ''gyűjtőlencse'' kell (D > 0).

===Mikroszkóp és felbontóképesség===
A lupe - bár sokmindenre jól használható - alapproblémája az, hogy nem tudjuk elég közel helyezni a szemünket. Ennek megoldására használjuk két lencsét, az egyik levetíti a képet (objektív), a másik pedig a lupe (okulár).
[[Kép:mikroszkop.png|center|700px|A mikroszkóp vázlatos felépítése]]

Egy mikroszkópban az objektív és az okulár fókuszsíkjai egymástól a mikroszkóp felépítése által meghatározott, állandó távolságban vannak. Ez az optikai tubushossz <math>(\overline{F^{,}_{obj} F_{ok}} = \Delta)</math>. Egy mikroszkópban ennek szabványos értéke 160 mm.<ref>Havancsák Károly: Mérések a klasszikus fizika laboratóriumban, 188. old.</ref>

Az objektív laterális nagyítása: <math>N_{obj} = \frac{y_k}{y_t} = \frac{k}{t} = \frac{k - f_{obj}}{f_{obj}}</math>.
A mikroszkóp szögnagyítása: <math>N_{sz\ddot{o}g} = \frac{\theta_{obj}}{\theta_t} \approx \frac{tg\theta_{obj}}{tg\theta_t} = \frac{y_k/f_{ok}}{y_t/L_0} = \frac{y_k}{y_t}\frac{L_0}{f_{ok}} = \frac{\Delta}{f_{obj}}\frac{L_0}{f_{ok}}</math>

A tipikus nagyítás nagyságrendileg 1000 * 10.

====Felbontóképesség====
Az optikai eszközök felbontóképességét a hullámoptika közelíthetősége határolja be. Tökéletes leképezést feltételezve a Fermat-elv szerint minden képalkotásban résztvevő fényút optikai úthossza megegyezik. A hullámoptika szerint mindenféle pályán haladhat a fény, de '''ott lesz nagy az amplitudó, ahol körülbelül azonos fázisban érkeznek a hullámok.'''
[[Kép:felbontokep.png|center|500px|Tökéletesen leképező lencse felbontóképessége]]

Szögnagyítás: <math>\frac{\delta}{L} < \frac{\lambda}{D}</math>. Azaz minden lencse megfelel egy résnek, amely <math>\frac{\lambda}{D}</math> nagyságú diffrakciót okoz. Ez azt jelenti, hogy a mikroszkóp maximális felbontása: <math>f\frac{\lambda}{D}</math>. A lencsére jellemző <math>\frac{D}{f}</math> hányadost numerikus apertúrának nevezik. (Vannak más definíciók is a numerikus apertúrára, pl: <math>n sin\alpha \mathbf{}</math>, ahol <math>tg\alpha = \frac{D}{f}</math>. D/f tipikus értéke 0,3 körüli, de a maximálisan elérhető felbontóképesség akár a hullámhossz nagyságrendjébe esik.

===Távcső===
A távcsövek konfokális (egybeeső fókuszponttal rendelkező) összetett lencserendszerek. A tárgy a végtelenben van, a kép is egy végtelen távoli pontban keletkezik. Laterális nagyításról tehát nincs értelme beszélni, csak szögnagyításról.

Mátrixoptikával úgy lehet leírni, hogy egy fókuszálás, majd szabad terjedés, majd még egy fókuszálás megy végbe, ez három mátrix szorzataként írható fel. Formálisan a fókusztávolság végtelen, ha a két lencse közötti távolság <math>d = f_1 + f_2</math>.

Szögnagyítás: <math>|M_{22}| = \frac{f_2}{f_1}</math>

Távcső felbontása: <math>\frac{\lambda}{D}</math>, ahol D a távcső lencséjének átmérője (csillagászati távcsöveknél 10 m nagyságrendű).

A különböző típusú távcsövekről:
*Kepler távcső (csillagászati távcső): két gyűjtőlencse, <math>d = f_{obj} + f_{ok}</math>
[[Kép:keplertavcso.png|center|300px]]

*Galilei-féle távcső (színházi távcső): az objektívje gyűjtőlencse, az okulárja szórólencse, és <math>d = f_{obj} - f_{ok}</math>, egyébként ugyanaz, mint az előző.

*Newton-távcső: hasonló elvi elrendezésa fentiekhez, ám ezúttal tükrökkel megvalósítva.
[[Kép:newtontavcso.png|center|300px]]

*Cassegrian-távcső: szintén tükrös távcső, az alábbi elrendezéssel.
[[Kép:cassegriantavcso.png|center|300px]]

A tükrös távcsövek előnyei a lencsésekkel szemben, hogy olcsóbban, nagyobb átmérőjű tükrök állíthatóak elő, ezáltal jobb felbontást lehet elérni. Valamint ugyanolyan felbontást kisebb méretű távcsővel lehet elérni.

==Optikai jelenségek a természetben, kausztikák==
Először ejtsünk néhány szót a kausztikákról. A kausztika jelentése: görbesereg burkolója. Az optikában kausztikák akkor alakulnak ki, ha (közel) párhuzamos fénysugarak esnek egy nem sík felületre. Emiatt alakul ki a szivárvány, a tavakon naplementekor látható fényes sávok, valamint a henger alakú üvegalkalmatosságok alján látható furcsa fényfoltok.
[[Kép:kausztika.png|center|thumb|300px|Kausztika egy pohár aljánál]]

*A szivárvány: feltételezzük, hogy a vízcseppek gömb alakúak (nem teljesen igaz, de a jelenség lényegileg nem változik sokat a gömbtől eltérő cseppalak esetén sem). Ha sok párhuzamos fénynyaláb érkezik rá egy irányból, akkor ezek a csepp határán megtörnek, majd a cseppben haladnak, annak falán (akár többször is) visszaverődnek, ezáltal (mivel a különböző színű (frekvenciájú) fénysugarak egy kicsit eltérően törnek ugyanolyan törésmutatójú közegben is) a különböző színek szétválnak, máshol lépnek ki cseppből néhány visszaverődés után. Ha sok ilyen cseppre esnek ugyanolyan irányból érkező párhuzamos fénysugarak, akkor a cseppekből a fény nagy része ugyanolyan irányban jut ki, ezt látjuk szivárványnak.
[[Kép:szivarvany.png|center|thumb|300px|A szivárvány kialakulásának vázlatos képe és egy látható szivárvány]]

*Nagyobb tavaknál, például már a Balatonnál is lehet látni naplementekor a következő jelenséget: ha a vízre nézük, fényes csíkot látunk rajta, mintha a Nap ráfolyt volna a vízre egy sávon. Ennek oka, hogy a víz hullámzik, így a fénysugarak különböző irányba verődnek vissza a felületéről, ahogy azt az alábbi ábra is szemlélteti:
[[Kép:fenysav.png|center|300px|thumb]]

A fényes sávot azért látjuk, mert minden hullámnak van olyan része, ami a szemünk irányába veri vissza a fényt, így a sok különböző helyről szemünkbe jutó napfényt egy összefüggő fényes sávnak látjuk.

<hr />
<references />

{{Záróvizsga}}

Leképezési törvény

2011-06-26T17:40:34Z

Bertalan:

:<math>\frac{1}{f} = \frac{1}{k} + \frac{1}{t}</math>

Bővebben: [[Geometriai optika és alkalmazásai#Mátrix reprezentáció, leképezési törvények]]

Leképezési törvény

2011-06-26T17:39:14Z

Bertalan: Új oldal, tartalma: „ :<math>\frac{1}{f} = \frac{1}{k} + \frac{1}{t}</math> Bővebben: []”

:<math>\frac{1}{f} = \frac{1}{k} + \frac{1}{t}</math>

Bővebben: []

Friedmann egyenletek

2011-06-26T17:35:16Z

Bertalan: Új oldal, tartalma: „:<math>H^2 = \left(\frac{\dot{a}}{a}\right)^2 = \frac{8 \pi G}{3} \rho - \frac{kc^2}{a^2} + \frac{\Lambda c^2}{3}</math> :<math>\dot{H} + H^2 = \frac{\ddot{a}}{a} = -\fr…”

:<math>H^2 = \left(\frac{\dot{a}}{a}\right)^2 = \frac{8 \pi G}{3} \rho - \frac{kc^2}{a^2} + \frac{\Lambda c^2}{3}</math>

:<math>\dot{H} + H^2 = \frac{\ddot{a}}{a} = -\frac{4 \pi G}{3}\left(\rho+\frac{3p}{c^2}\right) + \frac{\Lambda c^2}{3}</math>

Bővebben: [[Az asztrofizika alapjai#Friedmann-egyenletek szemléletes értelme]]

Kanonikus egyenletek

2011-06-26T17:30:55Z

Bertalan:

:<math>\dot p = -\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial q}</math>

:<math>\dot q =~~\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial p}</math>

Bővebben: [[A klasszikus mechanika elméleti tárgyalása#Kanonikus egyenletek, Hamilton-függvény]]

Kanonikus egyenletek

2011-06-26T17:29:19Z

Bertalan:

:<math>\dot{q_k} = \frac{\partial H}{\partial p_k}</math>

:<math>\dot{p_k} = -\frac{\partial H}{\partial q_k}</math>

:<math>\frac{\partial H}{\partial t} = - \frac{\partial L}{\partial t}</math>

Bővebben: [[A klasszikus mechanika elméleti tárgyalása#Kanonikus egyenletek, Hamilton-függvény]]

Kanonikus egyenletek

2011-06-26T17:29:06Z

Bertalan:

Kanonikus egyenletek

2011-06-26T17:28:35Z

Bertalan: Új oldal, tartalma: „ Bővebben: A klasszikus mechanika elméleti tárgyalása#Kanonikus egyenletek, Hamilton-függvény”

Bővebben: [[A klasszikus mechanika elméleti tárgyalása#Kanonikus egyenletek, Hamilton-függvény]]

Archimedes törvénye

2011-06-26T17:24:41Z

Bertalan:

<math>F_{fel}=V_{ki}\rho_{foly}g_{grav}\,</math>

Bővebben: [[Folytonos közegek mechanikája#Folyadékok tulajdonságai]]

Archimedes törvénye

2011-06-26T17:24:18Z

Bertalan:

<math>F_{fel}=V_{ki}\rho_{foly}g\,</math>

Bővebben: [[Folytonos közegek mechanikája#Folyadékok tulajdonságai]]

Archimedes törvénye

2011-06-26T17:23:07Z

Bertalan:

<math>F_{fel}=V_{kisz}\rho_{foly}g\,</math>

Bővebben: [[Folytonos közegek mechanikája#Folyadékok tulajdonságai]]

Archimedes törvénye

2011-06-26T17:22:43Z

Bertalan:

<math>F_{fel}=V_{foly}\rho_{foly}g\,</math>

Bővebben: [[Folytonos közegek mechanikája#Folyadékok tulajdonságai]]

Archimedes törvénye

2011-06-26T17:22:11Z

Bertalan:

<math>F_{f}=V_{f}\rho_{f}g\,</math>

Bővebben: [[Folytonos közegek mechanikája#Folyadékok tulajdonságai]]

Archimedes törvénye

2011-06-26T17:21:43Z

Bertalan: Új oldal, tartalma: „<math>F_{f}=V_{f}\rho_{f}g</math> Bővebben: Folytonos közegek mechanikája#Folyadékok tulajdonságai”

<math>F_{f}=V_{f}\rho_{f}g</math>

Bővebben: [[Folytonos közegek mechanikája#Folyadékok tulajdonságai]]

Folytonos közegek mechanikája

2011-06-26T17:11:13Z

Bertalan: /* Felhajtóerő */

==Rugalmas és képlékeny alakváltozások==

===Nyújtás===
[[Kép:01Nyujt.png|center|thumb|Huzal nyújtása]]
Ha egy homogén, A keresztmetszetű, l hosszúságú huzalt terhelünk megfelelően (nem túl) kicsi F erővel, akkor a megnyúlásra a következő arányosság (illetve egyenlőség) fog teljesülni:

<math>\Delta l\sim\frac{Fl}{A}\Longrightarrow\Delta l=\frac{1}{E}\frac{Fl}{A}</math>,

ahol ''E'' a Young-modulus [nyomás dimenziójú]. Ez utóbbi nem más, mint a nyúlásra vonatkozó ''Hooke-törvény''. Bevezetve a relatív hosszváltozást <math>\left(\varepsilon=\frac{\Delta l}{l}\right)</math> és a (mechanikai) feszültséget <math>\left(\sigma=\frac{F}{A}\right)</math> , a Hooke-törvény a következőképp alakul:

<math>\sigma=E\varepsilon</math>

Ez az összefüggés már lokális törvény (tetszőleges keresztmetszetre igaz). Mivel <math>\varepsilon</math> teljes hosszon egyenletes, ezért homogén deformációról beszélünk. Ellenkező esetben inhomogén deformációról van szó (pl.: saját súlyával terhelt rúd megnyúlása).

'''Munka és energiasűrűség nyújtás közben:'''

Ha <math>\Delta l</math> -lel megnyújtunk egy l hosszúságú rudat, akkor nyújtás közben x megnyújtásnál <math>F(x)=\frac{EA}{l}x</math> erő ébred a rúdban. Így a lineárisan növekvő erő összes munkája (összevetve a rugóerővel):

<math>E_{r}=W=\int_{0}^{\Delta l}F(x)dx=\frac{EA}{l}\int_{0}^{\Delta l}xdx=D\left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{\Delta l}=\frac{1}{2}D(\Delta l)^{2}</math>,

ahol ''D'' a huzal direkciós állandója. Mivel homogén deformációról van szó, ezért alkalmazhatjuk a következő felírást az '''energia sűrűségre''':

<math>u=\frac{E_{r}}{V}=\frac{\frac{1}{2}\frac{EA}{l}(\Delta l)^{2}}{Al}=\frac{1}{2}E\left(\frac{\Delta l}{l}\right)^{2}=\frac{1}{2}E\varepsilon^{2}=\frac{1}{2}\sigma\varepsilon</math>

'''Nyújtást kísérő harántösszehúzódás:'''

Kísérletek alapján nyújtás során a harántmérték relatív változása <math>\left(\frac{\Delta d}{d}\right)</math> egyenesen arányos a hosszméret relatív változásával <math>\left(\frac{\Delta l}{l}\right)</math>:

<math>\frac{\Delta d}{d}=-\mu\frac{\Delta l}{l}</math> és <math>\mu\geq0</math>,

ahol '''<math>\mu</math>''' a '''Poisson-szám'''. Tehát nyújtáskor harántösszehúzódás, összenyomáskor haránt irányú méretnövekedés lesz. Ennek következtében a rúd térfogata megváltozhat. Tapasztalat szerint az anyagok térfogata nyújtáskor általában nem csökken, tehát
:<math>0\leq\mu\leq\frac{1}{2}</math>.

Speciális anyagú testek térfogata nőhet is, ekkor a Poisson-szám negatív.

===Térfogati összenyomás===

A test felületén egységesen eloszló térfogati összenyomást úgy valósíthatunk meg, ha például folyadékba tesszük, és úgy fejtünk ki a rendszerre nyomást:
[[Kép:02Terfossz.png|right|thumb|Térfogati összenyomás]]

Tapasztalat szerint a térfogat csökkenés arányos a test térfogatával és a testre gyakorolt nyomással/nyomás változással:

:<math>\Delta V=-\kappa Vp=-\kappa V\Delta p\,</math>

ahonnan:

:<math>\kappa=-\frac{1}{V}\left(\frac{\Delta V}{\Delta p}\right)</math>

az anyag kompresszibilitása. Ez utóbbi megadja, mekkora a relatív térfogat csökkenés egységnyi nyomásnövekedés hatására. Ez összefüggésben van a fentebb bevezetett Young és Poisson számokkal:

:<math>\kappa = \frac{E}{3(1 - 2\mu)}</math>

===Nyírás===

Ha egy rugalmas hasábra lapjával párhuzamosan erőt fejtünk ki, akkor a hasáb egy bizonyos <math>\gamma</math> szöggel fog deformálódni. Ez a nyírás, és a szög (tapasztalatok szerint) megfelelően kis erő esetén arányos az erővel és fordítottan arányos a lap területével. Továbbá függ az anyagi minőségtől:

[[Kép:03Nyiras.png|right|thumb|Nyírás]]

<math>\gamma=\frac{1}{G}\frac{F}{A}</math> , ahol G az anyagi minőségtől függő nyírási modulus. Ha ez nagy érték, akkor az anyag erősen ellenálló a nyíró erőknek.

Mindezt úgy értelmezhetjük, hogy külső F erő hatására az erővel párhuzamos rétegek elcsúsznak egymáson, így ennek megfelelően visszahúzó <math>\tau</math> nyírófeszültség ébred. Az ebből származó erő kiegyenlíti a külső erőt:

:<math>\tau A=F\,</math> , azaz <math>\tau=G\gamma\,</math>.

<math>\gamma</math>-t kifejezve a Hooke-törvénnyel analóg kifejezést kapunk. Mindkét egyenletnek a lényege, hogy ''a deformáció arányos a feszültséggel''. A nyújtáshoz hasonlóan itt is bevezethető (és hasonlóan számolható is) a munka (W) valamint az energiasűrűség (u).

===Csavarás===

Az ábrákon látható módon deformáljuk a hengert, és a megértés érdekében felbontjuk koncentrikus hengerekre/csövekre (2. ábra).

[[Kép:04Csavar.png|right|thumb|Csavarás]]

Az r és <math>r+\Delta r</math> falvastagságú hengerek a csavarás során nyíródnak egymáson. (Tehát az eredetileg hasáb formájú palást paralelepipedonná torzul.) Így a deformációt leíró két szög között az összefüggés:

<math>r\varphi=l\gamma</math>

Tehát <math>\gamma</math> és így vele a deformáció mértéke is r-rel arányos. A fentiekből:

<math>\gamma=\frac{\tau}{G}=\frac{1}{G}\frac{\Delta F}{\Delta A}=\frac{1}{G}\frac{\Delta F}{2\pi r\Delta r}\frac{r}{r}=\frac{1}{G}\frac{\Delta M}{2\pi r^{2}\Delta r}</math>, ahol <math>\Delta M</math> az erőnyomaték.

A nyomatékot kiszámítva (integrálva) a teljes hengerre, megadható az elcsavarodás szöge (<math>\varphi</math>), amiből azt kapjuk, hogy az elfordulás szöge egyenesen arányos a szabad végen ható forgatónyomatékkal és fordítottam arányos a sugár negyedik hatványával. Ez utóbbi tulajdonság miatt széleskörben alkalmaznak torziós mérlegeket.

===Hajlítás===

Rugalmas rúd hajlítása esetén a keresztmetszeti lapok mozdulnak el egymáshoz képest. Az egyes rúddarabok úgy deformálódnak, hogy egy réteg felett nyúlik, alatta pedig összenyomódik az anyag (ezek mértéke függ a köztes résztől való távolságtól). A köztes részt, melynek hossza nem változik, neutrális zónának nevezzük. Egyik jól használható példa, ha egy oldalán rögzített rúdnak a másik végére F erőt fejtünk ki, lásd az ábrát.

[[Kép:05.Hajl1.png|right|thumb|Hajlítás]]

Továbbá eltekintünk a rúd hossztengelyére merőleges síkkeresztmetszetének torzulásától. Így feltételezhetjük, hogy mindig érvényes a Hooke-törvény (Ekkor a neutrális réteg egy neutrális görbe lesz csupán).

[[Kép:06Hajl2.png|right|thumb|Hajlítás]]

Mindezek alapján megadható mekkora erő ébred az egyes tartományokban, mekkora a Young-modulus, mekkora a belső feszültségek eredő forgatónyomatéka stb. További tipikus hajlítási módszerek:

[[Kép:07Hajl3.png|center|thumb|Behajlás és kihajlás]]

==Feszültség- és deformációs tenzor==

===Feszültség tenzor felírása===

A pontos vizsgálat céljából vegyünk egy <math>\Delta A</math> nagyságú felületelemet a testben, ami tartalmazza a P pontot. '''n''' a felületre merőleges normálvektorunk.

[[Kép:08Fesz1.png|center|thumb|Testben a feszültség]]

Ha szétvágjuk a testet <math>\Delta A</math> mentén, akkor ahhoz hogy újra összeillesszük, egy ugyanakkora, ellentétes irányú erőre lesz szükségünk. Tehát

<math>\mathbf{F_{(n)}+F_{(-n)}}=0</math>

Bevezetve a feszültségvektort: <math>\mathbf{\sigma_{(n)}=}\frac{\mathbf{F_{(n)}}}{\Delta A}\Longrightarrow\mathbf{\sigma_{(-n)}=-\sigma_{(n)}}</math>

A feszültségek felületi erők, tehát egy adott felületen keresztül fejtik ki hatásukat. Továbbá belső erőkből származnak és rövid a hatótávolságuk. Valamint léteznek még térfogati erők, melyek tetszőleges <math>\Delta V</math> térfogatelemre hatnak:

<math>\mathbf{F=f}\Delta V</math>, ahol <math>\mathbf{f}</math> a térfogati erősűrűség (amely helyfüggő).

Ha a P pontban felveszünk egy X,Y,Z (1,2,3) irányú egyégvektorok által kifeszített tetraédert, akkor a következő ábrát kapjuk (<math>\Delta A_{i}</math>-k rendre az oldalak területei):

[[Kép:09Fesz2.png|center|thumb|Egység-tetraéder]]

A térfogati erőkkel a 4 lapon működő feszültségekből származó erők tartanak egyensúlyt:

<math>\mathbf{\sigma_{(-1)}}\Delta A_{1}+\mathbf{\sigma_{(-2)}}\Delta A_{2}+\mathbf{\sigma_{(-3)}}\Delta A_{3}+\mathbf{\sigma_{(-n)}}\Delta A_{n}+\mathbf{f}\Delta V=0</math>

<math>\varepsilon</math> (ábra fent) nem más, mint <math>\Delta A_{n}</math> távolsága P ponttól, mellyel a térfogati erők nagyságrendje köbösen, a felületi erőké pedig négyzetesen változik. Ezért <math>\varepsilon\rightarrow0</math> határesetben:

<math>\mathbf{\sigma_{(-1)}}\Delta A_{1}+\mathbf{\sigma_{(-2)}}\Delta A_{2}+\mathbf{\sigma_{(-3)}}\Delta A_{3}+\mathbf{\sigma_{(-n)}}\Delta A_{n}=0</math>

Mivel az egyes felületek kifejezhetők <math>\Delta A_{n}</math> segítségével (<math>\Delta A_{i}=\Delta A_{n}\cos\angle(i,n)=\Delta A_{n}n_{i}</math>), ezért az egyenlet a következőképp egyszerűsödik:

<math>\mathbf{\sigma_{(n)}}=\mathbf{\sigma_{(1)}}n_{1}+\mathbf{\sigma_{(2)}}n_{2}+\mathbf{\sigma_{(3)}}n_{3}</math>

[[Kép:10Fesz3.png|center|thumb|Feszültség komponensek]]

Tehát ha ismerjük a koordinátasíkokon fellépő feszültséget, akkor bármilyen '''n''' irányban meg tudjuk határozni a feszültséget:

<math>\mathbf{\sigma_{(n),i}}=\mathbf{\sigma_{(1),i}}n_{1}+\mathbf{\sigma_{(2),i}}n_{2}+\mathbf{\sigma_{(3),i}}n_{3}</math> (i=1,2,3)

Így bevezethetjük a <math>\sigma_{i,j}=\mathbf{\sigma_{(j),i}}</math> '''feszültség tenzort''', amellyel a fenti egyenlet:

<math>\mathbf{\sigma_{(n),i}}=\sigma_{i}=\sum_{j=1}^{3}\sigma_{ij}n_{j}</math>

(Tenzorról akkor beszélünk, ha a mátrix homogén, lineáris vektortranszformációban szerepel.) A feszültség tenzor j-edik oszlopában a feszültség komponensek állnak. A főátló komponensei a nyújtási/összenyomási feszültségek, a többi elem pedig nyírási feszültség. Továbbá bizonyítható, hogy a feszültségtenzor szimmetrikus<ref>könyv: 151§ 1. (50-51. oldal)</ref>.

===Deformációs tenzor felírása===

Síkbeli deformációt vizsgálva (amit később kiterjesztünk 3D-ra):

[[Kép:11Deform.png|right|thumb|Síkbeli deformáció]]

A P pont és környezete elmozdulása leírható egy egyszerű '''u(r)''' vektor-vektor függvénnyel.

<math>Q_{X}</math> elmozdulásából <math>Q^{\prime}_{X}</math> helykoordinátái:

:<math>\left(\left(x+\Delta x\right)+u_{x}\left(x+\Delta x,y\right),y+u_{x}\left(x+\Delta x,y\right)\right)</math>

A <math>\overrightarrow{P^{\prime}Q^{\prime}_{X}}</math> vektor x komponense:

<math>\left(x+\Delta x\right)+u_{x}\left(x+\Delta x,y\right)-\left[x+u_{x}(x,y)\right]\simeq\Delta x\left(1+\frac{\partial u_{x}}{\partial x}\right)</math>

A <math>\overrightarrow{P^{\prime}Q^{\prime}_{X}}</math> vektor y komponense:

<math>y+u_{y}\left(x+\Delta x,y\right)-\left[y+u_{y}(x,y)\right]=\Delta x\left(\frac{\partial u_{y}}{\partial y}\right)</math>

(Itt alkalmaztuk a skalár-vektor függvények megváltozására vonatkozó összefüggést:

<math>\Delta\phi=\phi(r+\Delta r)-\phi(r)=\partial_{x}\phi\Delta x+\partial_{y}\phi\Delta y+\partial_{z}\phi\Delta z</math>)

Az X-tengely irányában fekvő szakasz relatív megnyúlása tehát:

<math>\varepsilon_{xx}=\frac{\Delta x\left(1+\frac{\partial u_{x}}{\partial x}\right)-\Delta x}{\Delta x}=\left(\frac{\partial u_{x}}{\partial x}\right)\rightarrow</math> (A kettős index mutatja a szakasz irányát és a változás irányát is)

Ugyanezzel a gondolatmenettel: <math>\varepsilon_{yy}=\left(\frac{\partial u_{y}}{\partial y}\right)</math>

A <math>\overrightarrow{P'R'_{Y}}</math> vektor Y tengellyel bezárt szöge: <math>\gamma_{2}\simeq\frac{\partial u_{x}}{\partial y}</math>, ami alapján a nyírás szöge:

:<math>\gamma\simeq\gamma_{1}+\gamma_{2}=\frac{\partial u_{x}}{\partial y}+\frac{\partial u_{y}}{\partial x}</math>.

Tehát a az alakváltozást leíró elmoztulásfüggvény parciális deriváltjai közvetlen fizikai jelentéssel bírnak.

<math>\varepsilon_{xx}=\left(\frac{\partial u_{x}}{\partial x}\right);\quad\varepsilon_{xy}=\varepsilon_{yx}=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial u_{x}}{\partial y}+\frac{\partial u_{y}}{\partial x}\right);\quad\varepsilon_{yy}=\left(\frac{\partial u_{y}}{\partial y}\right)\quad\Longrightarrow\quad\mathbf{\varepsilon}=\left(\begin{array}{cc}\varepsilon_{xx} & \varepsilon_{xy}\\\varepsilon_{yx} & \varepsilon_{yy}\end{array}\right)</math>,

ahol <math>\varepsilon</math> a '''deformációs tenzor'''.

Általánosan 3D-ban: <math>\varepsilon_{ij}=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial u_{i}}{\partial x_{j}}+\frac{\partial u_{j}}{\partial x_{i}}\right)\quad i,j=1,2,3</math>

Ennek főátlóbeli komponensei a koordinátatengelyek irányában történő hosszváltozásokat, a vegyes indexű tagok a hozzájuk tartozó egyenesek közötti szögváltozások felével egyenlőek. A tenzor spurja a relatív térfogatváltozást adja meg. Fontos tétel még, hogy tetszőleges deformáció felírható egyenletes összenyomás és egy nyírás összegeként.

===Általános Hooke-féle törvény===

Éremes a Hooke-törvényt olyan deformációkra általánosítani, amelyek során a feszültség-tenzor elemei a deformációs-tenzor elemeinek lineáris függvényei. Mivel ezek a tenzorok szimmetrikusak, így hat független elemük van, és helyettesíthetők a következő kifejezéssekkel:

<math>\tilde{\sigma}=(\sigma_{xx},\sigma_{yy},\sigma_{zz},\sigma_{xy},\sigma_{xz},\sigma_{yz}),\quad\tilde{\varepsilon}=(\varepsilon_{xx},\varepsilon_{yy},\varepsilon_{zz},\varepsilon_{xy},\varepsilon_{xz},\varepsilon_{yz})</math>

És az általános Hooke-törvény szerint ezek közt lineáris kapcsolat van: <math>\tilde{\sigma}=\hat{C}\tilde{\varepsilon}</math>, ahol <math>\hat{C}</math> egy 6x6-os mátrix és a rugalmas állandók tenzora (ez is mindig szimmetrikus). Komponensekkel felírva: <math>\sigma_{j}=\sum_{j=1}^{6}C_{ij}\varepsilon_{j}\quad ;\quad j=1,2...6</math>

Tehát az általános Hooke-törvény egy 6 egyenletből álló egyenletrendszer, melyhez 36 rugalmas állandó szükséges. Ha figyelembe vesszük, hogy C is szimmetrikus, a deformáció homogén és izotrop és a koordináta rendszert is úgy választjuk, hogy a tengelyek egybeessenek a főfeszültségi irányokkal, akkor a Hooke-törvény 3 egyenletre egyszerűsödik:

<math>\sigma_{I}=C_{1}\varepsilon_{I}+C_{2}\varepsilon_{II}+C_{3}\varepsilon_{III}</math>

<math>\sigma_{II}=C_{1}\varepsilon_{II}+C_{2}\varepsilon_{III}+C_{3}\varepsilon_{I}</math>

<math>\sigma_{III}=C_{1}\varepsilon_{III}+C_{2}\varepsilon_{I}+C_{3}\varepsilon_{II}</math>

ahol <math>\sigma_{I},\sigma_{II},\sigma_{III}</math> a főfeszültségek, <math>\varepsilon_{I},\varepsilon_{II},\varepsilon_{III}</math> a fődilatációk, <math>C_{1},C_{2},C_{3}</math> pedig a rugalmas állandók. Mivel a <math>\sigma_{I}</math> irányra merőleges másik két irány közül egyik sem kitüntetett, ezért <math>C_{2}=C_{3}</math>. Így bevezethetőek a következő jelölések:

<math>C_{1}-C_{2}=2\mu^{\prime}\quad</math> és <math>\quad C_{2}=C_{3}=\lambda^{\prime}</math>

Ezekkel a fenti egyenletek átírhatók:

<math>\sigma_{I}=2\mu^{\prime}\varepsilon_{I}+\lambda^{\prime}\left(\varepsilon_{I}+\varepsilon_{II}+\varepsilon_{III}\right)</math>

<math>\sigma_{II}=2\mu^{\prime}\varepsilon_{II}+\lambda^{\prime}\left(\varepsilon_{I}+\varepsilon_{II}+\varepsilon_{III}\right)</math>

<math>\sigma_{III}=2\mu^{\prime}\varepsilon_{III}+\lambda^{\prime}\left(\varepsilon_{I}+\varepsilon_{II}+\varepsilon_{III}\right)</math>

Tehát izotrop test esetén a deformáció és a feszültség állapot között két rugalmas állandó teremt kapcsolatot, melyek itt <math>\mu^{\prime}</math> és <math>\lambda^{\prime}</math>. Ezeket hívjuk '''Lamé-féle állandóknak'''. Ezek segítségével a korábban definiált deformációk állandói felírhatóak, néhány példa:
Young modulus:

:<math>E = \frac{\mu(2\mu + 3\lambda)}{\mu + \lambda}</math>

A Poisson-szám (itt most :<math>\nu</math>):

:<math>\nu = \frac{\lambda}{2(\mu + \lambda)}</math>\

Kis deformációkra a kompresszibilitás:

:<math>\kappa = \frac{3}{2\mu + 3\lambda}</math>

Nyírási modulus:

:<math>G = \mu\,</math>

===A kompresszibilitás és a hangsebesség===
Érdemes még tudni két differenciális összefüggést a deformálható anyagokkal kapcsolatban, az egyik a kompresszibilitás:

:<math>\kappa = -\frac{1}{V} \frac{\partial V}{\partial p}</math>

A másik a hangsebesség:

:<math>c^2 = \frac{\partial p}{\partial \rho}</math>

==Hullámterjedés deformálható testekben, Doppler-effektus. <ref>Tasnádi-Skapits-Bérces: Általános fizika I.2. IV. C) Hullámtan</ref>==

''Rugalmas hullám'': rugalmas közegben keltett deformáció térbeli terjedése.

Attól függően, hogy gömb vagy sík mentén terjed a hullám, beszélhetünk gömb- vagy síkhullámról.

* Transzverzális hullám: a részecskék elmozdulása merőleges a terjedés irányára

* Longitudinális hullám: a részecskék elmozdulása megegyezik a terjedés irányával

===Transzverzális hullámok terjedési sebessége:===

Egy kötélen levő hullám-hegy terjedését vizsgáljuk. Felfoghatjuk úgy, hogy a hullám csúcsa (egy, a csúcs mozgásához rögzített koordinátarendszerben) hullámsebességű körmozgást végez. Ehhez a centripetális erőt a kötél két végén levő feszítőerők eredője adja.

[[Kép:01Hullamv.png|center|thumb|200px|A hullám csúcsa]]

Felhasználva, hogy <math>\Delta\alpha\ll1\Longrightarrow\sin\frac{\Delta\alpha}{2}\approx\frac{\Delta\alpha}{2}</math>

<math>F_{e}=2F\sin\frac{\Delta\alpha}{2}=F\Delta\alpha</math>

Az ív tömege: <math>R\Delta\alpha q\rho</math>, ahol q a kötél keresztmetszete, <math>\rho</math> a sűrűsége.

A körmozgás dinamikai egyenlete alapján:

<math>F\Delta\alpha=R\Delta\alpha q\rho\frac{c_{t}^{2}}{R},\qquad</math> ahonnan a terjedési sebesség: <math>c_{t}=\sqrt{\frac{F}{\rho q}}</math>

Bevezetve a kötélben levő húzófeszültséget: <math>\sigma=\frac{F}{q}\quad\Longrightarrow\quad c_{t}=\sqrt{\frac{\sigma}{\rho}}</math>

===Hullámfüggvény===

Egy kötél egyik felén T periódusidővel hullámokat keltünk. Egy periódusidő alatt a deformáció cT távolságra jut, ez a hullámhossz: <math>\lambda</math>.

Egy általános pont rezgésére az összefüggés:

<math>y(x,t)=A\sin\omega\left(t-\frac{x}{c}\right),\qquad</math> ahol

y a kötél kitérése, A a rezgés amplitúdója, <math>\omega</math> a körfrekvencia, <math>\frac{x}{c}</math> az adott ponthoz tartozó időkésés.

Ez a hullámfüggvény az eddigiek alapján átírható a következő alakba:

<math>y(x,t)=A\sin2\pi\left(\frac{t}{T}-\frac{x}{\lambda}\right),\qquad</math> ahol ha bevezetjük a ''hullámszám''ot: <math>k=\frac{2\pi}{\lambda}</math>

<math>y(x,t)=A\sin\left(\omega t-kx\right)\qquad</math> egyenletet kapjuk, mint végső formát.

===Hullám-tulajdonságok===

A tulajdonságok demonstrálására jól alkalmas pl. a hullámkád...

'''Visszaverődés (reflexió):'''

Az akadályhoz érkező és visszavert egyenes síkhullám ugyanakkora szöget zárnak be a fallal.

[[Kép:02Reflex.png|center|thumb|350px|Különdöző hullámok visszaverődése]]

'''Törés (refrakció):'''

Pl. ha megváltozik a medence mélysége, akkor az más közegnek számít. A mélyebb vízben gerjesztett, adott hullámhosszúságú, egyenes hullámok a határfelületen irányváltozást és hullámhossz-rövidülést szenvednek.

[[Kép:03Refrax.png|center|thumb|200px|Egyenes hullámok törése]]

'''Interferencia:'''

Két pont pontszerű hullámforrás a víz felszínén állandó interferenciakképet mutat.

[[Kép:04Interf.png|center|thumb|200px|Interferenciakép]]

A létrehozott körhullámok hol erősítik, hol kioltják egymást. A két hullámegyenlet:

<math>y_{1}(x,r_{1})=A\sin2\pi\left(\frac{t}{T}-\frac{r_{1}}{\lambda}\right),\qquad y_{2}(x,r_{2})=A\sin2\pi\left(\frac{t}{T}-\frac{r_{2}}{\lambda}\right)</math>

A két hullám fáziskülönbsége egy adott P pontban:<math>\delta=2\pi\frac{r_{2}-r_{1}}{\lambda},\qquad</math> útkülönbsége: <math>\Delta s=r_{2}-r_{1}</math>

Erősítés maximális helye ott van, ahol <math>\delta=2n\pi,\quad\left(n\in\mathbb{Z}\right)\qquad</math> illetve <math>\Delta s=n\lambda</math>

Kioltás pedig, ahol <math>\delta=2(n+1)\pi,\qquad</math> és <math>\Delta s=(2n+1)\frac{\lambda}{2}</math>

'''Elhajlás (diffrakció):'''

Ha hullámvonulat útjába akadályt teszünk, melyen rést hagyunk, akkor azt tapasztaljuk hogy a fal mögötti "árnyéktérben” is keletkeznek hullámok. Sőt, ha a rés a hullámhosszal egy nagyságrendű, illetve kisebb, akkor a rés mögött körhullámok keletkeznek (mint egy pontforrás esetén).

[[Kép:05Diffr.png|center|thumb|150px|Elhajlás]]

Ez magyarázható a '''Huygens-elv'''vel, mely szerint:

* A hullámfelületek minden pontjából elemi hullámok indulnak ki

* Az új hullámfelületet egy későbbi időpontban az elemi hullámok burkoló felülete adja.

===Doppler-effektus===

Ha egy hullámforrás mozog a közeghez viszonyítva, akkor a forrás előtt a hullámoknál hullámhossz rövidülés, mögötte hullámhossz növekedés figyelhető meg. Ennek megfelelően a mozgás irányában nagyobb a rezgés frekvenciája, mint a mögötte levő térrészben. Ez a '''Doppler- effektus'''.

[[Kép:06Doppler1.png|center|thumb|150px|Doppler-effektus (v < c)]]

Nézzük a hangtani esetet, mert ez “látványos”. Ha feltesszük, hogy a megfigyelő nem mozdul, a forrás közeledik, illetve hogy a terjedési sebesség kisebb, mint a hangsebesség (v < c), akkor a frekvenciaváltozás a következőképp adható meg:

A forrás egységnyi idő alatt f darab hullámot bocsájt ki, melyekből az első c távolságra jut. Ez alatt v távolságra jut a forrás, tehát az f darab hullámnak c-v hosszon kell elhelyezkednie, ami csak úgy lehet, ha megváltozik a hullámhosszuk:

<math>c-v=f\lambda^{,},\qquad</math> ahol <math>\lambda^{,}</math> az észlelt hullámszám.

Az észlelt frekvencia pedig:

<math>f^{,}=\frac{c}{\lambda^{,}}=f\frac{c}{c-v}</math>

Ugyanezen gondolatmenet alapján, ha távolodik a forrás: <math>f^{,}=f\frac{c}{c+v}</math>

Hasonló gondolatmenet alapján, ha nyugvó forrásnál közeledik/távolodik az észlelő: <math>f^{,}=f\frac{c\pm v}{c}</math>

Ha a hullámforrás '''gyorsabban mozog a hangsebességnél''', akkor a hanghullámok már nem tudják megelőzni a forrást:

[[Kép:07Doppler2.png|center|thumb|250px|Doppler-effektus (v > c)]]

A hang ekkor olyan kúpfelület mentén terjed, melynek csúcsában a hangforrás van. Az ábra alapján a kúp nyílásszöge:

<math>\sin\alpha=\frac{c}{v}\qquad</math> (Ennek reciprokát nevezzük Mach-számnak [M])

==Folyadékok tulajdonságai==

===Hidrosztatika===

Pascal-törvény: A nyomás a folyadékokban egyenletesen tejed, vagyis a külső nyomásból származó nyomás a folyadék belsejében és a határfelületén minden iránybban uagyanakkora.

Demonstrációs példák:

• Vizibuzogány: minden irányban egyenlő mértékben áramlik ki a víz.

• Vékonyfalú üvegpohárban (bolognai) üvegcsepp: ha megroppantjuk a csepp végét, akkor az üveg porrá esik szét és a gyors folyamat széttöri a poharat is.

• Hidraulikus emelő: <math>\frac{F_{1}}{A_{1}}=\frac{F_{2}}{A_{2}}</math>

[[Kép:12Emelo.png|center|thumb|Hidraulikus emelő]]

A '''hidrosztatikai nyomás''' egyenesen arányos a felszíntől mért mélységgel és a folyadék sűrűségével:

<math>G=Ah\rho g\qquad</math> (A - a folyadék oszlop alapterülete, h - a magassága, <math>\rho</math> - a sűrűsége)

A '''hidrosztatikai paradoxon''': Különböző formájú, de azonos alapterületű edények esetén a mérleg egyensúly mutat, ha ugyanakkora magasságú folyadék van bennük. (Ilyenkor is a folyadék oszlop nyomása fontos... “Az edény fala vagy tartja, vagy nyomja a folyadékot”)

[[Kép:13Paradox.png|center|thumb|Hidrosztatikai paradoxon]]

'''Közlekedő edények''': Szintén a Pascal-törvény értelmében (és a fentiek alapján is látható), a folyadékszint az ábrán látható rendszerben ugyanolyan magasan lesz mindenhol. (A hidrosztatikai nyomások egyenlőek!)

[[Kép:14.kozl_edeny.png|center|thumb|Közlekedő edények]]

===Felhajtóerő===

Egyszerű alakú testre (h magasságú, A keresztmetszetű henger sűrűségű folyadékba) a felhajtóerő:

[[Kép:15Felh.png|center|thumb|Felhajetóerő]]

A hidrosztatikai nyomásnál az oldallapra ható erők eredője 0, az alsó és felső lapra hatók összege pedig megadja a felhajtóerőt:

<math>F_{f}=F_{2}-F_{1}=h_{2}\rho_{f}gA-h_{1}\rho_{f}gA=\left(h_{2}-h_{1}\right)\rho_{f}gA=hA\rho_{f}g=V_{f}\rho_{f}g</math>

Ez a törvény általánosan is igaz: bármely folyadékba merülő testre a test által kiszorított folyadék súlyával megegyező nagyságú felhajtóerő hat. Ez '''Archimédész törvénye'''.

===A testek úszása és annak stabilitása===

Attól függően, hogy a test súlya vagy a testre ható felhajtó erő nagyobb, a test úszhat, elmerülhet vagy lebeghet.

<math>F_{e}=F_{nehezsegi}-F_{felhajto}=V_{t}(\rho_{t}-\rho_{f})g</math>

• Ha <math>\rho_{t}>\rho_{f}\Rightarrow F_{e}>0</math>: a test elmerül

• Ha <math>\rho_{t}=\rho_{f}\Rightarrow F_{e}=0</math>: a test lebeg

• Ha <math>\rho_{t}<\rho_{f}\Rightarrow F_{e}<0</math>: a test úszni fog.

Úszás esetén a test részben belemerül a folyadékba úgy, hogy <math>V_{t}\rho_{t}=V_{f}\rho_{f}</math> feltétel teljesüljön (ahol <math>V_{f}</math> a test folyadékban levő része).

Ahhoz, hogy '''stabil úszás'''ról beszéljünk, további feltétel szükséges: a felhajtó- és a nehézségi erő ne fejtsen ki forgatónyomatékot. Hiszen a test súlypontja (S) és a kiszorított folyadék súlypontja (S') nem mindig esik egybe.

[[Kép:16Uszas.png|center|thumb|Úszás feltétele]]

Ha a kibillentett úszó test vissza áll eredeti helyzetébe, akkor '''stabilis az úszás'''. Ha ha kibillentve mindig ugyanúgy marad, akkor az egyensúlyi helyzet '''indifferens''' (pl. homogén gömb esetén). Ha pedig másik helyzetbe megy át, akkor '''labilis''' volt.

===Felületi feszültség===

Ha megnézzük egy folyadék molekula hatásgömbjét a folyadékon beljebb, akkor azt láthatjuk, hogy a kölcsönhatások eloszlása jóformán egyenletes. Viszont a felületen levő molekulákra ez nem igaz.

[[Kép:17Felfesz.png|center|thumb|Felületi feszültség]]

Tehát kísérletek és elméleti számítások alapján a felszíni réteg lazább, nagyobb az átlagos molekulatávolság, mint a folyadék belsejében. Ezért a felületi réteg feszítetté válik. És ennek a felszínnek a növeléséhez/átszakításához munkát kell végeznünk.

Ha egy keretre - aminek egyik oldala mozgatható - szappanhártyát feszítünk ki, akkor azt tapasztaljuk, hogy az erő (ami húzza az l hosszúságú oldalt) nem függ a hártya területétől:

<math>F=\alpha\cdot2l</math>

Ebből arra következtethetünk, hogy összehúzódáskor a hártya szerkezete/struktúrája nem változik. Továbbá a potenciális energiaminimum-elve következében létrejönnek a minimálfelületek. Az energiaminimumot pedig a felületi energia minimuma adja. (pl.: szappanos vízbe mártott kocka...)

'''Görbült felület görbületi nyomása:'''

[[Kép:18Gorbult.png|center|thumb|Görbült felület görbületi nyomása]]

Az adott hártyadarabka nyomását a következő összefüggéssel kaphatjuk meg, mely '''Laplace I. törvénye''':

<math>p_{g}=\alpha\left(\frac{1}{R_{1}}+\frac{1}{R_{2}}\right)</math>

(Ennek segítségével lehet magyarázni a kapilláris emelkedést is <ref>171.§ 1. (110. o)</ref>)

'''Nedvesítő és nem nedvesítő folyadékok:'''

Az üvegre cseppentett folyadékok alakját a nehézségi erő és a felületi feszültség együttesen alakítják ki.

[[Kép:19Nedvesit.png|center|thumb|Cseppek]]

Az ábrán láthatóak a 3 anyag érintkezési vonalában ható felületi feszültségek. (Jelmayarázat: v-víz, h-higany, ü-üveg, l-levegő) Az egyensúlyt a következő összefüggés írja le:

<math>\alpha_{ul}=\alpha_{vu}+\alpha_{vl}\cos\vartheta,\qquad\vartheta</math> az ''illeszkedési szög''. (Higanyra hasonló az egyenlet.)

Ezt az összefüggést nevezzük '''Laplace II. törvényének'''.

===Torricelli-kísérlet===

A levegő súlyából adódó légnyomás meghatározásához Torrichelli egy 1 m hosszú kémcsövet megtöltött higannyal és higgannyal telt edénybe helyezte a cső nyitott végét. A csőben a higany szintje az edényben levő higanyhoz képest 76 cm-re esett (függetlenül az üvegcső dőlésszögétől). Ezzel a magasságú higannyal tud a levegő nyomása egyensúlyt tartani (közlekedő edények elve).

További példák: befőttes üveg behorpadt celofánnal, magdeburgi féltekék....

==Áramlások==

===Lagrange-féle leírás===

Folyadékot a szilárd testekhez hasonlóan kezeljük, és részekre bontjuk. Majd minden részelemnek külön megadjuk a helykoordinátáját és a pályavonalát. De ez a felírás nagyobb időre túl kusza pályákat eredményez.

===Euler-féle leírás===

Nem a közeg egyes pontjait, hanem az áramlási teret nézzük a következőképp: minden pontban megadjuk a sebességet (v), a nyomást (p) és a sűrűséget (<math>\rho</math>) időtől függően. Ekkor nem számít, hogy egy adott részecske éppen hol tartózkodik. A szemléltetéshez használjuk az ''áramvonalakat'', melynek deriváltja megadja az adott pontban a sebességvektor egyenesét.

[[Kép:20AramlasiCso1.png|center|thumb|Áramlási cső]]

''Áramlási cső:'' az áramlási térben egy elméleti zárt görbe pontjain ármenő áramvonalak összessége.

Áramlások osztályozása:

• Súrlódásos/súrlódás mentes: súrlódásos, ha a folyadékrészek relatív mozgásából származó nyíróerők nem elhanyagolhatók.

• Örvényes/örvény mentes: örvényes, ha a folyadékrészek forgómozgást is végeznek.

• Stacionárius/nem stacionárius: stacionárius, ha v,p és <math>\rho</math> nem függnek az időtől.

===Tökéletes folyadék áramlása===

Vegyünk egy <math>\Delta V</math> térfogatú folyadék részecskét egy r(x,y,z) helyen. A rá ható erők x komponense az X-tengelyre merőleges lapjaira ható nyomásból származik. Így:

<math>F_{x}=\left[p(x,y,z,t)-p(x+\Delta x,y,z,t)\right]\Delta y\Delta z=-\frac{\partial p}{\partial x}\Delta x\Delta y\Delta z</math>

Felhasználva, hogy <math>\Delta m=\rho\Delta V=\rho\Delta x\Delta y\Delta z</math>, a részecske mozgásegyenletének x komponense:

<math>\rho\frac{d v_{x}}{d t}=-\frac{\partial p}{\partial x}\qquad</math>ugyanez felírható az y komponensre is.

A z komponensnél viszont figyelembe kell venni a nehézségi erőt: <math>\rho\frac{d v_{z}}{d t}=-\frac{\partial p}{\partial z}-\rho g</math>

Vektoriálisan megkapjuk az '''ideális folyadékokra vonatkozó dinamikai alapegyenletet(Euler-egyenlet)''':

<math>\rho\frac{d\mathbf{v}}{d t}=-\nabla p-\rho\mathbf{g}</math>

Ahol a teljes időderivált kifejtésénél figyelembe kell venni azt, hogy mire kis idő múlva odanézek, a részecske már nem ott lesz, ahol eddig volt, így a deriváltat a láncszabály szerint írhatjuk le:

<math>\frac{d\vec{v}}{dt} = \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} grad) \vec{v}</math>

Ez az egyenlet még nem elég az áramlás problémájának megoldásához, hiszen ez csak 3 egyenlet míg az ismeretlenjeink száma: 3(sebességek)+1(nyomás)+1(sűrűség)
Kell még a kontinuitási egyenlet és egy állapotegyenlet.

A peremfeltételek nem súrlódó folyadék esetén azt mondják, hogy a sebesség a falakra merőleges komponense 0.

'''Kontinuitási egyenlet:'''

Az összenyomhatatlanság miatt az áramlási cső két tetszőleges keresztmetszetén egyenlő térfogatú folyadég halad keresztül.

[[Kép:21AramlasiCso2.png|center|thumb|Áramlási cső]]

<math>A_{1}v_{1}\Delta t=A_{2}v_{2}\Delta t</math>, ahonnan: <math>\frac{v_{1}}{v_{2}}=\frac{A_{2}}{A_{1}}</math> adódik, ami a stacionárius áramlásra vonatkozó kontinuitási egyenlet. Szűkületben tehát nagyobb sebességgel áramlik a folyadék.

Általános esetben a kontinuitási egyenlet a következőképpen írható fel:
* Egy térfogatot kiválasztva a folyadékon belül, a térfogaton belüli tömeg megváltozása:
:<math>\frac{d}{dt}\int \rho(\vec{r}) dV</math>
* Ennek egyenlőnek kell lennie a térfogat szélein(felületén) kiáramlott tömeggel:
:<math>-\int \rho(\vec{r}) \vec{v} dF</math>
A felületi integrálra Gauss-Oszrogradszkij tételt alkalmazva, majd kihasználva, hogy ez minden térfogatra igaz, kapjuk a szokásos alakú kontinuitási egyenletet:
:<math>\frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \vec{v})=0</math>

A leggykrabban választott állapotegyenlet <math>\rho = konst.</math> vagyis az összenyomhatatlan folyadék esete. Ekkor az előző egyenlet így egyszerűsödik:

:<math>div \vec{v}=0</math>

===A Bernoulli-egyenlet===

[[Kép:22Bernoulli.png|center|thumb|Folyadék darab elmozdulása]]

Vizsgáljuk meg az ABCD folyadék rész elmozdulását (A'B'C'D'-be megy át <math>\Delta t</math> idő múlva). Mivel az ábrán fehéren hagyott rész nem változik az áramlás szempontjából, ezért úgy tekintjük, mintha ABA'B' folyadék CDC'D'-be jutott volna át. A munkatétel szerint a folyadék mozgásenergiája megegyezik a ráható erők munkájának összegével. Súrlódásmentes esetben csak a nehézségi erő és a <math>p_{1},\quad p_{2}</math> nyomásokból származó erőt kell figyelembe venni. A nehézségi erő munkája:

<math>W_{1}=A_{1}v_{1}\Delta t\rho g(h_{1}-h_{2})</math>

A nyomóerőé pedig:

<math>W_{2}=p_{1}A_{1}v_{1}\triangle t-p_{2}A_{2}v_{2}\triangle t</math>

Felhasználva a kontinuitási egyenletet: <math>V=A_{1}v_{1}\Delta t=A_{2}v_{2}\Delta t</math>, és a munkatételt:

<math>\frac{1}{2}V\rho v_{2}^{2}-\frac{1}{2}V\rho v_{1}^{2}=V\rho g(h_{1}-h_{2})+V(p_{1}-p_{2})</math>, melyet átrendezve a következő összefüggést kapjuk:

<math>p_{1}+\rho gh_{1}+\frac{1}{2}\rho v_{1}^{2}=p_{2}+\rho gh_{2}+\frac{1}{2}\rho v_{2}^{2}</math>

Ezt az összefüggést hívjuk '''Bernoulli-egyenlet'''nek. Ez alapján ez az összeg bármely áramfonal esetén állandó - összenyomhatatlan folyadék súrlódásmentes, stacionárius áramlása esetén:

<math>p+\rho gh+\frac{1}{2}\rho v^{2}=C</math>

===Viszkózus folyadék áramlása===

Amikor a folyadékrészek relatív sebességük nem 0, akkor a részek közötti belső súrlódási erő már nem hanyagolható el általában.

Tapasztalat: egymásra rétegzett színes és színtelen glicerinből kihúzunk egy üveglapot. Az üveglapon lévő folyadékok sebessége a legnagyobb, a távolabbiaké kisebb. A relatív sebesség és belső súrlódás miatt a lasabb rétegek lassítják a gyorsabbakat és fordítva.

Mégjobban vizsgálható, ha két párhuzamos lap közötti folyadék áramlását vizsgáljuk, úgy hogy csak a felső lapot mozdítjuk el.

[[Kép:23Viszk.png|center|thumb|Párhuzamos lapok közti folyadék áramlása]]

Ekkor legfelül a leggyorsabb a folyadék, míg legalul 0 a sebessége. Ekkor a folyadék sebességének az áramlásra merőlegesen gradiense van. Eredményül azt kapjuk, hogy a belső súrlódási erő egyenesen arányos az egymáson csúszó folyadékrétegek felületének nagyságával és a keresztmetszetben vett egységnyi távolságra eső sebességváltozással:

<math>F=\eta A\frac{dv}{dy}</math>

Ezt az összefüggést '''Newton belső súrlódási törvényének''' nevezzük. (Ahol <math>\eta</math> a dinamikai viszkozitás.)

'''Stokes törvénye:'''

Áramlási térbe helyezett közelében réteges áramlás alakulhat ki. A belső súrlódással a közeg erőt fejt ki a golyóra, ami arányos a golyó relatív sebességével, a golyó sugarával, és a közeg dinamikai viszkozitásával:

<math>F=6\pi\eta rv</math>

Ezt a törvényt használta fel Millikan is a kísérlete során, amikoris megmérte az elemi elektromos töltést.....

További pl.: Brown-mozgáskor felhasznált mozgásegyenlet: <math>m\frac{d^{2}x}{dt^{2}}=-6\pi\eta a\frac{dx}{dt}+F_{veletlen}</math>

===Turbulencia===

Azt tapasztaljuk, hogy ha egy áramlási csőben lamináris (stacionárius) áramlás sebességét növeljük, akkor egy adott sebességnél az áramlás kavargó, turbulens áramlásba csap át. Ugyanezt tapasztaljuk, ha a sebességet nem vátoztatjuk, de az áramlási cső méretét növeljük. Egyes vizsgálatok alapján a turbulenssé válás függ az áramlási sebességtől (v), az áramlási cső harántméretétől (r), a közeg sűrűségétől (<math>\rho</math>) és a dinamikai viszkozitástól (<math>\eta</math>). Az átmenet akkor történik meg, ha

<math>R=\frac{\rho rv}{\eta}</math>, ahol R a Reynolds-szám.

Ez a számérték hozzárendelhető az adott testekhez is, melyeket az áramlási csatornába helyezünk. Két test körüli áramlások pedig akkor lesznek hasonlóak, ha <math>R_{1}=R_{2}</math>. (Tehát pl egy 10x kisebb repülőgép modellhez 10x nagyobb szél kell...)

===Áramlások hasonlósága===

Az előző pontban említett Reynolds-szám csak egy a hidrodinamika rengeteg dimenziótlan száma közül. Általánosan elmondható, hogy két áramlás akkor hasonló, ha az adott probléma szempontjából jelentős dimenziótlan számai egyenlőek. Két áramlás hasonlósága alatt itt azt értjük, ha dimenziótlanított formában megegyező függvények írják le a sebesség és nyomáseloszlásukat(ha más lényeges változóink is vannak, pl.: hőmérséklet, akkor azokat is). Ennek óriási jelentősége van, mivel a hidrodinamika egyenletei nemlineárisak, és sokszor megfelelő közelítő megoldás sem található rájuk, így a mérnökök/kutatók kénytelenek modellkísérleteket alkalmazni, pl. a vizsgálandó hajótest kicsinyített másán.

===Örvények===

Két, nem azonos sebességű lamináris áramlás határfelületén a nyíróerők vékony sávban forgásba hozzák a folyadékot, örvények jönnek létre.

[[Kép:24Orv.png|center|thumb|Örvények két áramlás határán]]

Ha egy testet (pl. hengert) helyezünk lamináris áramlásba, akkor a testtől távolabb az áramlás nem változik, de a test közelében a folyadéknak nagy lesz az áramlásra merőleges sebesség-gradiense. (Ez a Prandtl-féle határréteg.) Ez amiatt van, mert a test felületén a folyadékrészek sebessége nulla, a határréteg másik szélén pedig maximális. A belső súrlódás miatt nem tudnak elhaladni a test mellett, hogy mögé jussanak (a magas nyomású részhez), hanem már hamarabb lefékeződnek és visszakanyarodnak a kisebb nyomású rész felé. Viszont itt a nagysebességű áramlás elkapja a visszaáramló folyadékot és így forgásba jön. Ez a kialakuló örvény egyre nagyobb lesz, majd leválik a testről. Ez a jelenség periódikusan ismétlődik, és ellentétesen forgó örvénypárok szakadnak le egymás után. Ezt nevezzük '''Kármán-féle örvénysor'''nak.

[[Kép:25Orv.png|center|thumb|Kármán-féle örvénysor]]

===A Navier-Stokes-egyenlet(*)===

Összenyomhatatlan folyadák esetén:

:<math>\rho \left(\frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} + \mathbf{v} \cdot \nabla \mathbf{v}\right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \mathbf{v} + \mathbf{f}.</math>

Az Euler-egyenlethez képesti egyetlen új tag a viszkozitás hatását írja le. <math>\mu</math> a kinenatikai viszkozitás
:<math>\mu = \frac{\eta}{\rho}</math>

<ref>http://en.wikipedia.org/wiki/Navier-Stokes</ref>
A peremfeltételek viszkózus folyadékra azt mondják, hogy a falak mentén a víz áramlási sebessége nulla.
<hr />
'''Hivatkozások:'''
Forrás: Tasnádi-Skrapits-Bérces - Általános fizika I.2.
<references />
{{Záróvizsga}}

Erők gyorsuló koordináta rendszerben

2011-06-26T17:05:27Z

Bertalan:

:<math>F - ma_0 -m\left[ \omega \times \left( \omega \times R \right)\right] - 2m\left( \omega \times v^{\prime}\right) - m\left( \frac{d \omega}{dt} \times R\right) = ma^{\prime}</math>

Az első korrekciós tag az egyenes gyorsulásnál is fellépett transzlációs tag, a második a centrifugális erő, a harmadik a Coriolis-erő, a negyedik az Euler-erő.

Bővebben: [[A klasszikus mechanika alapjai#Gyorsuló koordinátarendszerek, tehetetlenségi erők]]

Léptető operátorok

2011-06-26T17:02:07Z

Bertalan: Új oldal, tartalma: „:<math> a = \sqrt{\frac{m \omega}{2 \hbar}}\left( x + \frac{i}{m \omega}p\right) </math> :<math> a^\dagger = \sqrt{\frac{m \omega}{2 \hbar}}\left( x - \frac{i}{m \omega}…”

:<math> a = \sqrt{\frac{m \omega}{2 \hbar}}\left( x + \frac{i}{m \omega}p\right) </math>

:<math> a^\dagger = \sqrt{\frac{m \omega}{2 \hbar}}\left( x - \frac{i}{m \omega}p\right) </math>

:<math>[a,a^\dagger]=1\,</math>

Bővebben: [[Egzaktul megoldható fizika problémák#Kvantummechanikai problémák]]

Egzaktul megoldható fizika problémák

2011-06-26T17:02:02Z

Bertalan: /* A Kepler-mozgások és a kúpszeletek kapcsolata */

==Rezgések==
===Harmonikus oszcillátor===
Az egész kvantitatív fizika legalapvetőbb megoldható rendszere a harmonikus oszcillátor. Ez egy olyan tömegpont mozgása, amely <math>V(x) = \frac{1}{2}kx^2</math> alakú potenciálban végez csillapítatlan rezgőmozgást. Ekkor:

:<math>F(x) = -\frac{dV}{dx}= -kx\,</math>

És a mozgásegyenlet:

:<math>F = m\ddot{x} = -kx\,</math>

Az általános matematikai alak:

:<math>\ddot{x} = -\alpha x\,</math>

Ennek megoldása:

:<math>x(t) = A\operatorname{cos}(\omega t + \phi)\,</math>

A kezdőfeltételek határozzák meg ''A''-t és <math>\phi</math>-t, a körfrekvenciára:
:<math>\omega = \sqrt{\alpha}\,</math>

===Csillapított és gerjesztett harmonikus oszcillátor===
A fenti probléma két további, bonyolított változata is egzaktul megoldható. Hozzáadhatunk az egyenlethez, egy sebességgel arányos csillapítást:

:<math>\ddot{x} = -\alpha x -\beta \dot{x}\,</math>

Ekkor a megoldás:
:<math>x(t) = \operatorname{exp}\left[ \frac{1}{2}\left(-\beta \pm \sqrt{\beta^2 - 4\alpha} \right)t\right],</math>

Három elkülönülő régió van, a négyzetgyök alatti mennyiség előjele alapján:
*Ha negatív: alulcsillapított, létrejön oszcilláció, ami lecseng,
*Ha nulla: kritikusan csillapított, egy félhullám lehet az egyensúly felé tartásban, de nincs nullátmenet,
*Ha pozitív: túlcsillapított: a kitérés mindig az egyensúlyi helyzet felé húz, hullámok nélkül.

A fenti differenciál-egynlethez állandó periodikus gerjesztőerőt is hozzáadhatunk:

:<math>\ddot{x} = -\alpha x -\beta \dot{x} + F(\omega_D)\, </math>

Az előbb részletezett három régió most is ugyanaz, a kezdeti állapotból a rendszer a csak csillapítottnál megfigyelhető relaxációval kerül be a gerjesztési amplitúdó és frekvencia által megszabott oszcillációhoz. Az explicit megoldásokat lásd [http://mathworld.wolfram.com/DampedSimpleHarmonicMotion.html itt].

===Regések összetétele===
Egyszerű trigonometriával belátható, hogy azonos frekvenciájú, de tetszőleges amplitudójú és fázisú harmonikus rezgőmozgások eredője is harmonikus rezgőmozgás, ugyanazzal a frekvenciával. Az amplitudóra az összegzés eredménye:

:<math>A^2 = A_1^2 + A_2^2 + 2 A_1 A_2 \operatorname{cos}(\phi_1 - \phi_2)\,</math>

és a fázisszögre:

:<math>\operatorname{tg}\delta = \frac{A_1 \operatorname{sin}\phi_1 + A_2 \operatorname{sin}\phi_2}{A_1 \operatorname{cos}\phi_1 + A_2 \operatorname{cos}\phi_2}</math>

Ezek a formulák tetszőleges számú, azonos frekvenciájú harmonikus rezgés összeadására általánosíthatóak.

Két eltérő frekvenciájú, de azonos amplitudójú és fázisú rezgés összetételének eredménye pedig:

:<math>x(t) = 2 A \operatorname{cos}\left(\frac{\omega_1 - \omega_2}{2}t \right)\cdot \operatorname{sin}\left( \frac{\omega_1 + \omega_2}{2}t\right)</math>

Az eredő amplitudó pedig:

:<math>A_E(t) = 2A \operatorname{cos} \left( \frac{\omega_1 - \omega_2}{2}t\right)\,</math>

Az eredő amplitudó időbeli harmonikus változása a lebegés jelensége.

===Csatolt rezgések===
Csatolt rezgésről akkor beszélünk, hogyha a testeket nem csak az egyensúlyihelyzetükhöz, hanem egymáshoz is harmonikus erő köti. A mozgásegyenletek ekkor:

:<math>m_1 \ddot{x}_1 = -D_1 x_1 + k( x_2 - x_1 )</math>
:<math>m_2 \ddot{x}_2 = -D_2 x_2 - k( x_2 - x_1 )</math>

Megfelelő változócserével a csatolás kitranszformálható, és két független harmonikus rezgőmozgást kapunk eredményül. Ezek összege és különbsége adja a helyfüggvényeket. Az itt megjelenő frekvenciákat ''normálfrekvenciáknak'' nevezzük. Ha megvizsgáljuk az energiaviszonyokat, akkor azt tapasztaljuk, hogy a két test harmonikus energiáján (<math>E = \frac{1}{2} mv^2 + \frac{1}{2}Dx^2</math>) kívül fellép egy csatolási energia is:
:<math>E_{csat} = \frac{1}{2} k (x_2 - x_1)^2</math>

A teljes energiamegmaradás ennek a három energiának az összegére érvényes. Az időfejlődés során periodikusan változik az egyik és a másik test rezgési amplitudója, szemléletesen az energia oda-vissza vándorol a két test között.

===Lineáris lánc===
Tekintsünk egy ''N'' tömepontból álló sorozatot, amelyet ideális rugók kötnek össze. Tekintsünk el a külső erőtértől. Ekkor az egyes mozgásegyenletek a következő alakúak:

:<math>m_1 \ddot{x}_1 = k_{12}(x_2 - x_1)</math>
:<math>m_2 \ddot{x}_2 = -k_{12}(x_2 - x_1)+k_{23}(x_3 - x_2)</math>
:<math>\vdots</math>
:<math>m_{N-1} \ddot{x}_{N-1} = -k_{N-2, N-1}(x_{N-1} - x_{N-2})+k_{N-1, N}(x_N - x_{N-1})</math>
:<math>m_N \ddot{x}_N = -k_{N-1, N}(x_N - x_{N-1})</math>

Osszunk át a tömegek ''négyzetgyökével'' és vezessük be a következő jelölést: <math>y_i = x_i \cdot \sqrt{m_i}</math>. Az egyszerűség kedvéért, csak szemléltetésül az egyik középső egyenlet így alakul:

:<math>\ddot{y}_i = -\frac{k_{i-1, i}}{\sqrt{m_i}} \left( \frac{y_i}{\sqrt{m_i}} - \frac{y_{i-1}}{\sqrt{m_{i-1}}} \right) + \frac{k_{i, i+1}}{\sqrt{m_{i}}} \left( \frac{y_{i+1}}{\sqrt{m_{i+1}}} - \frac{y_{i}}{\sqrt{m_{i}}} \right)</math>

Az így kapott egyenletrendszer sokkal áttekinthetőbb, ha mátrixos alakba írjuk.

:<math>\ddot{\mathbf{Y}} = \mathbf{M}\mathbf{Y} </math>

Az itt bevezetett '''M''' mátrix tartalmazza a tömegekből, és rugóállandókból adódó konstansokat. A fenti változócserére azért volt szükség, hogy ez a mátrix szimmetrikus legyen, így a sajátértékei valósak. Ez pedig azért jó, mert ekkor a sajátértékprobléma megoldásával megkapott sajátértékek a normálfrekvenciák négyzeteit adják, a sajátvektorok pedig a rezgési módusokat (azaz, hogy az egyes pontok mekkora amplitúdóval, milyen irányba rezegnek). A mátrixnak mindig lesz egy 0 sajátértéke, ez a transzlációt írja le. Az általános megoldás most is az egyes meghatározott frekvenciák és amplitúdók által definiált harmonikus rezgőmozgások eredője, amiben a szabad paramétereket (összesen 2N darab) a kezdőfeltételek szabják meg.

==A Kepler-probléma==
A Kepler-probléma a Newtoni-gravitációs erőtörvény hatására mozgó test mozgásegyenletének vizsgálata. Ez tulajdonképpen egy centrális erőtérben történő mozgás, azonban kitüntetett jelentősége volt a csillagászat fejlődésében, hiszen jó közelítéssel írja le a Bolygók mozgását a Nap körül.

===A bolygók mozgása===
Adott a Newton-i gravitációs erőtörvény, itt most vektoros alakban felírva:

:<math>\mathbf{F} = - \gamma \frac{mM}{r^2} \frac{ \mathbf{r}}{r}</math>

itt m az adott bolygó, M a Nap tömege. Ez az erő centrális, azaz a tekintett testek középpontján keresztül hat. Ebből következik, hogy a mozgás síkmozgás, amihez tartozik egy megmaradó mennyiség, az impulzusmomentum:

:<math>r^2 \omega = \lambda \,</math>

A mozgásegyenleteket polárkoordinátákban felírva a gyorsulás radiális egyenlete:

:<math>m\ddot{r} - m r \dot{\phi}^2 = - \gamma \frac{mM}{r^2}</math>

És a síkszöghöz tartozó egyenlet:

:<math>m\ddot{\phi} = m \frac{1}{r} \frac{d}{dt} (r^2 \dot{\phi} ) = 0</math>

hiszen az erőnek nincs ilyen irányú komponense. Ezt az egyenletet az impulzusmomentum állandósága megoldja, tehát csak az első egyenlet megoldása marad hátra. Ennek érdekében az idő szerinti deriváltakat átírjuk szögszerinti deriváltakra, azaz áttértünk a szögre, mint paraméterre. Az eredményül kapható differenciál-egyenlet:

:<math>\frac{d^2}{d\phi^2} \left( \frac{1}{r} - \frac{\gamma M }{\lambda ^2} \right) = - \left( \frac{1}{r} - \frac{\gamma M }{\lambda ^2} \right) </math>

ami nem más, mint egy harmonikus oszcillátor egyenlete. Ennek ismert a megoldása, amelyből a sugár kifejezhető:

:<math>r(\phi) = \frac{\lambda ^2}{\gamma M} \frac{1}{1 + \frac{A \lambda ^2}{\gamma M}\operatorname{cos}(\phi + \alpha)}</math>

A koszinuszos tag szorzófaktora az ekcentricitás, a külső tört szorzófaktora a pálya paramétere. A kapott egyenlet egy kúpszelet egyenlete.

===A Kepler-mozgások és a kúpszeletek kapcsolata===
Az előzőekben bemutattuk, hogy a Kepler-probléma kúpszelet egyenletre vezet, amelyek általános alakja:

:<math>r(\phi) = \frac{p}{1 + \epsilon\operatorname{cos}(\phi + \alpha)}</math>

Ekkor három alapvetően különböző mozgás jöhet létre, amelyeket az excentricitás különböztet meg:
*<math>\epsilon < 1\,</math>: Ellipszis (speciálisan, 0 esetén kör),
*<math>\epsilon = 1\,</math>: Parabola,
*<math>\epsilon > 1\,</math>: Hiperbola.

Ezek kifejezhetőek az energiával is:
*<math>E < 0\,</math>: Ellipszis,
*<math>E = 0\,</math>: Parabola,
*<math>E > 0\,</math>: Hiperbola.

===Kozmikus sebességek===
A fenti energiák fontosak az űrkutatásban. Ha a Földről indítunk egy testet, akkor a legkisebb energiájú stabil pálya a valamely ellipszis pálya elérése. Első kozmikus sebességnek nevezzük a föld sugarával egyező körpálya eléréséhez szükséges sebességet, ez kb. 7,9 km/s. A második kozmikus sebesség a Föld gravitációs terének elhagyása, azaz a fenti esetek közül a parabolikushoz tartozó sebesség, ez kb.: 11,2 km/s. A harmadik kozmikus sebesség az előző, de a Napra viszonyítva, azaz ebben az esetben a naprendszer elhagyásáról beszélünk. Ez megközelítőleg 42,1 km/s.

==Kvantummechanikai problémák==
===Potenciálvölgy===
===Oszcillátor Sommerfeld-módszerrel===
A lineáris harmonikus oszcillátor energia operátora:

<math>\mathbf{E} = \frac{ \mathbf{p} ^{2}}{2 \mu} + \frac{ \omega^{2} \mu}{2} \mathbf{x}^{2}</math>.

Az <math>\mathbf{x}</math> operátor helyére az x szerinti szorzást, a <math>\mathbf{p}</math> helyére pedig a <math>\frac{\hbar}{i} \frac{d}{dx}</math>-t írva a sajátérték-egyenlet:

<math> -\frac{\hbar^{2}}{2 \mu} \frac{d^{2} \psi}{dx^{2}} + \frac{\omega^{2} \mu}{2} x^{2} \psi = E \psi </math>, ebből:

<math> \frac{d^{2} \psi}{dx^{2}} + \frac{2 \mu}{\hbar^{2}} \Bigl( E - \frac{1}{2} \mu \omega^{2} x^{2} \Bigr) \psi = 0 </math>.

Bevezetve a <math> k = \frac{2E}{\hbar \omega} </math> jelölést és x-ről áttérve a <math> \xi = \sqrt{\frac{\mu \omega}{\hbar}} x </math> változóra az egyenlet a következőképpen néz ki:

<math> \frac{d^{2} \psi}{d \xi^{2}} + (k-\xi^{2}) \psi = 0 </math>.

Az egyenlet aszimptotikus alakja: <math> \frac{d^{2} \psi}{d \xi^{2}} - \xi^{2} \psi = 0 </math>. Ennek megoldása: <math> \psi_{a} = e^{-\xi^{2}/2}</math>. Az eredeti egyenlet megoldását a Sommerfeld-féle polinom-módszer segítségével szeretnénk megkapni, ezért a pontos megoldást <math> \psi = e^{-\xi^{2}/2} v(\xi) </math> alakban keressük. Ezt beírva a differenciálegyenletbe kapjuk:

<math> \frac{d^{2} v}{d\xi^{2}} - 2\xi \frac{dv}{d \xi} + (k-1) v = 0 </math>.

<math> v(\xi) = \sum_{r = 0}^{n} c_{r} \xi^{r} </math> alakban felírva képezzük <math> v(\xi) </math> első és második deriváltját:

<math> \frac{dv}{d \xi} = \sum_{r} r c_{r} \xi^{r-1} </math>,

<math> \frac{d^{2}v}{d \xi^{2}} = \sum_{r} r (r-1) c_{r} \xi^{r-2}</math>.

Ezt beírva <math>v</math> differenciálegyenletébe: <math> \sum_{r} \Bigl( (r+2)(r+1) c_{r+2} - (2r + 1-k) c_{r} \Bigr) \xi^{r} = 0 </math>.

Ez akkor igaz, ha <math> \xi </math> minden hatványának együthatója 0. Így egy rekurzív összefüggést kapunk a <math> c_{r} </math> együtthatók között:

<math>c_{r+2} = \frac{2r + 1-k}{(r+2)(r+1)} c_{r} </math>.

Belátható, hogy r = n fokszámtól kezdve az összes együtthatónak azonosan 0-nak kell lennie, ezért 2n + 1 = k. Az E és k közötti összefüggés alapján így az energia sajátértékek:
<math> E_{n} = \hbar \omega \Bigl( n+ \frac{1}{2} \Bigr) = h \nu \Bigl( n + \frac{1}{2} \Bigr) </math>.

Az egyes energia sajátértékekhez tartozó sajátfüggvények: <math> \psi_{n} = e^{-\xi^{2} / 2} v_{n}(\xi)</math>, ahol <math>v_{n}(\xi) = H_{n}(\xi) </math> ún. Hermite-polinom.

=== Oszcillátor léptető operátorokkal ===
A harmonikus oszcillátor Hamilton-operátora némi alakítgatás után:
:<math>\mathbf{H}=\hbar \omega \frac{m \omega}{2 \hbar} \left( x^2 + \frac{1}{m^2 \omega^2} + \frac{1}{2}\right)= \hbar \omega \left( \sqrt{\frac{m \omega}{2 \hbar}}\left( x - \frac{i}{m \omega}p\right) \sqrt{\frac{m \omega}{2 \hbar}}\left( x + \frac{i}{m \omega}p\right) + \frac{1}{2}\right) = \hbar \omega ( a^\dagger a + \frac{1}{2})</math>
A léptetőoperátorok:
:<math> a = \sqrt{\frac{m \omega}{2 \hbar}}\left( x + \frac{i}{m \omega}p\right) </math>
:<math> a^\dagger = \sqrt{\frac{m \omega}{2 \hbar}}\left( x - \frac{i}{m \omega}p\right) </math>
ezek természetesen egymás adjungáltjai. A felcserélési reláció:
:<math>[a,a^\dagger]=1\,</math>
Legyen <math>a^\dagger a = N</math> a részecskeszám-operátor. Koncentráljunk ennek a sajátállapotaira:
:<math>N | n \rangle = n | n \rangle</math>
Könnyen megmutatható, hogy ha <math>|n \rangle</math> sajátállapota N-nek, akkor <math>a|n \rangle</math> és <math>a^{\dagger}|n \rangle</math> is:
:<math>N a | n \rangle = (n-1) a | n \rangle</math>
:<math>N a^{\prime} | n \rangle = (n+1) a | n \rangle</math>
az így kapott sajátállapotok nem normáltak. Mivel <math>a | n \rangle</math> normája n, ezért a normált állapotok:
:<math>a | n \rangle = \sqrt{n} | n-1 \rangle</math>
és hasonlóan:
:<math>a^\dagger | n \rangle = \sqrt{n+1} | n+1 \rangle</math>
Tehát elindulva egy n sajátérékről, az a eltüntető operátor n-1,n-2,... sajátértékkel generál új N sajátállapotokat. Ezek sorozata viszont nem mehet negatívba, hiszen az N sajátérétke egyben a :<math>a | n \rangle</math> normája ami nem negatív. Ez csak úgy lehet, ha n egész értékéről indulunk, majd elérünk n=0-hoz és akkor:
:<math>a | 0 \rangle = 0</math>
Ebből az egyenletből rögtön adódik az alapállapoti hullámfüggvény, a keltő operátor alkalmazással pedig a gerjesztett állapotok hullámfüggvényei. A spektrum is azonnal leolvasható.

===Rotátor===
A forgó mozgást végző tömegpontot rotátornak nevezzük. Szabadon forgó tömegpont energia sajátérték egyenlete: <math> -\frac{\hbar}{2 \mu} \Delta \psi = E \psi</math>. A problémához leginkább a térbeli polárkoordináta-rendszer illeszkedik, ugyanis a forgás centrumától mért r távolság állandó.

A Laplace-operátor polárkoordináta rendszerben: <math> \Delta = \frac{\partial^{2} }{\partial r^{2}} + \frac{2}{r} \frac{\partial}{\partial r} + \frac{1}{r^{2}} \Bigl( \frac{\partial^{2}}{\partial \vartheta^{2}} + \cot(\vartheta) \frac{\partial }{\partial \vartheta} + \frac{1}{(\sin(\vartheta))^{2}} \frac{\partial^{2}}{\partial \varphi^{2}} \Bigr) </math>.

r = állandó, ezért <math> \psi = \psi(\vartheta, \varphi) </math> csak a szögektől függ:

<math> \frac{\partial^{2} \psi }{\partial \vartheta^{2}} + \cot{\vartheta} \frac{\partial \psi }{\partial \vartheta} + \frac{1}{(\sin(\vartheta))^{2}} \frac{\partial^{2} \psi }{\partial \varphi^{2}} = - \frac{2 \mu r^{2}}{\hbar^{2}} E \psi </math>.

Legyen <math> \mu r^{2} = \Theta </math> (a tehetetlenségi nyomaték a forgás centrumára vonatkozóan). Az egyenlet a következő alakra módosul:

<math> \frac{\partial^{2} \psi }{\partial \vartheta^{2}} + \cot{\vartheta} \frac{\partial \psi }{\partial \vartheta} + \frac{1}{(\sin(\vartheta))^{2}} \frac{\partial^{2} \psi }{\partial \varphi^{2}} + \frac{2 \Theta}{\hbar^{2}} E \psi = 0 </math>.

<math> \psi(\vartheta, \varphi) = F(\vartheta)G(\varphi) </math> alakban keresve a megoldást:

<math> F^{\prime \prime}G + \cot(\vartheta) F^{\prime}G + \frac{1}{(sin(\vartheta))^{2}}F G^{\prime \prime} + \frac{2 \Theta}{\hbar^{2}} E F G = 0 </math>.

Átalakítva: <math> \frac{F^{\prime \prime}}{F} (\sin(\vartheta))^{2} + \cos(\vartheta) \sin(\vartheta) \frac{F^{\prime}}{F} + \frac{2 \Theta}{\hbar^{2}} E (\sin(\vartheta))^{2} + \frac{G^{\prime \prime}}{G} = 0 </math>.

A <math> \vartheta </math>-tól és a <math> \varphi </math>-től függő részek külön-külön állandók kell, hogy legyenek:

<math> \frac{G^{\prime}}{G} = -m^{2} </math>, azaz <math> G = e^{i m \varphi} </math>.

Az azimutszöget <math> 2 \pi</math>-vel növelve ugyanabba a pontba jutunk vissza, ezért meg kell követelnünk, hogy <math> e^{i m 2 \pi} = 1</math> legyen.

Az F-et meghatározó egyenletnél érdemes a <math> \xi = \cos(\vartheta) </math> változóra áttérni, így az eredeti egyenletet <math> F/(1- \xi^{2}) </math>-tel megszorozva (<math> (1-\xi^{2}) \neq 0 </math>) kapjuk:

<math> (1- \xi^{2}) \frac{\partial^{2} F}{\partial \xi^{2}} - 2 \xi \frac{\partial F}{\partial \xi} + \Bigl( \frac{2 \Theta}{\hbar^{2}} E - \frac{m^{2}}{(1-\xi^{2})} \Bigr) F = 0 </math>.

A <math> \xi = 1</math>-ben a differenciálegyenletnek szingularitása van, hogy a megoldás itt is véges legyen, ezért <math> F(\xi) = (1-\xi^{2})^{\frac{|m|}{2}} v(\xi) </math>. Ezt visszaírva és a kapott egyenlet megoldását a polinom-módszer alapján <math> v(\xi) = \sum_{r=0} c_{r} \xi^{r} </math> alakban keresve kapjuk:

<math> \sum_{r} \left((r+2)(r+1) c_{r+2} - \Bigl[ (r+|m|)(r+|m|+1)- \frac{2 \Theta E}{\hbar^{2}} \Bigr] c_{r} \right) \xi^{r} = 0 </math>.

Ez alapján a <math> c_{r} </math> együtthatókra egy rekurziós képletet kapunk: <math> c_{r+2} = \frac{(r+|m|)(r+|m|+1) - \frac{2 \Theta E}{\hbar^{2}}}{(r+2)(r+1)} c_{r} </math>.

Ahhoz, hogy a sajátfüggvény reguláris legyen egy bizonyos fokszámú együtthatótól kezdve az összes értéke azonosan 0 kell hogy legyen. A lehetséges energia-sajátértékek így: <math> E_{l} = \frac{\hbar^{2}}{2 \Theta} l (l+1) </math>, ahol <math> k + |m| \ge 0</math>-t jelöltük l-el (l = 0, 1, 2, ...).

A differenciálegyenletet kielégítő polinom neve módosított Legendre-polinom, amit <math> P_{l}^{m} </math> szimbólummal jelölünk. A forgó mozgást végző tömegpont sajátfüggvényei tehát a gömbfüggvények:

<math> \psi_{lm}(\vartheta, \varphi) = Y_{lm}(\vartheta, \varphi) = \sqrt{\frac{2l+1}{4 \pi}\frac{(l-m)!}{(l+m)!}}P_{l}^{m}[\cos(\vartheta)]e^{i m \varphi}</math>.

A teljes energia: <math>E_l = \frac{\hbar ^2}{2\mu r^2}l(l+1).</math>

Az impulzusmomentum négyzete: <math>L^2 = \hbar ^2 l(l+1),</math> a <math>z</math> irányú vetülete pedig <math>L_z = \hbar m.</math>

===A Schrödinger-egyenlet megoldása Coulomb-potenciálban, H-atom===

A szögfüggő tagok leválasztása után:

:<math> \left( - \frac{\hbar ^2}{2M} \frac{1}{r} \frac{d^2}{dr^2} r + \frac{\hbar ^2 l(l+1)}{2Mr^2}-\frac{e^2}{4 \pi \epsilon _0 r} \right) R_l(r) = E \cdot R_l(r)</math>

Bevezetve <math>u=rR</math>-t:

:<math>- \frac{\hbar ^2}{2M} u\prime \prime(r) + \left( \frac{\hbar^2 l(l+1)}{2Mr^2} - \frac{e^2}{4 \pi \epsilon_0 r} - E \right) u(r) = 0 </math>

Ezek után dimenziótlanítunk. Legyen <math>\rho=r/r_B</math> és <math>\epsilon=E/Ry</math>, ahol a Bohr-sugár <math>r_B=\frac{4 \pi \epsilon_0 \hbar^2 }{M_e e^2}</math> és a Rydberg-állandó <math>Ry=\frac{e^4 M_e}{(4 \pi \epsilon_0)^2 2 \hbar^2}</math>. Ekkor:

:<math>-\frac{d^2 u}{d \rho^2} + \left( \frac{l(l+1)}{\rho^2} - \frac{2}{\rho} - \epsilon \right) u = 0</math>

A szükséges határfeltételek:
* <math>\rho \rightarrow \infty</math>-ben u=0.

* <math>\rho \rightarrow 0</math>-ban?

Ha <math>\rho \rightarrow a \neq 0</math> akkor <math>R \propto \rho^-1</math>, erre hattatva a Laplace operátort az origóban Dirac-deltát kapunk, vagyis nem elégítjük ki a Schrödinger-egyenletet. Ezért itt is u=0 lesz a határfeltétel.

Az egyenlet megoldási módszere Sommerfeld féle polinom módszer:
* Megoldjuk az egyenletet aszimptotikusan.
Az aszimptotikus megoldás <math>\rho \rightarrow \infty</math>-ben <math>e^{\pm \alpha \rho}</math> ahol <math>\alpha = \sqrt{|\epsilon|}</math>. A norma miatt csak a negatív előjel jó.

* A megoldást <math>f(r) \cdot \psi_a(r)</math> alakban keressük, ahol <math> f(r)=\sum a_n r^n</math> hatványsor. Az f(r) eredeti egyenletbe való visszahelyettesítése után kapunk egy rekurziót az <math>a_n</math>-ekre.
* A rekurzió megoldása elrontja az aszimptotikát, az egyetlen megoldás, ha a hatványsorunk véges, vagyis valamilyen n-re <math>a_n=0</math>. Ebből a feltételből közvetlenül kapjuk az energiaszinteket. Az együtthatók kiszámolásával pedig a sajátfüggvényeket.

Az energiaszintek:

:<math>\epsilon = - \frac{1}{n^2}</math>

Minden energiaszint <math>\sum\limits_{l=0}^{n-1}(2l+1)=n^2</math>-szeresen degenerált.

===Klasszikus határesetek===

{{Záróvizsga}}

Egzaktul megoldható fizika problémák

2011-06-26T17:01:25Z

Bertalan: /* Oszcillátor léptető operátorokkal */

==Rezgések==
===Harmonikus oszcillátor===
Az egész kvantitatív fizika legalapvetőbb megoldható rendszere a harmonikus oszcillátor. Ez egy olyan tömegpont mozgása, amely <math>V(x) = \frac{1}{2}kx^2</math> alakú potenciálban végez csillapítatlan rezgőmozgást. Ekkor:

:<math>F(x) = -\frac{dV}{dx}= -kx\,</math>

És a mozgásegyenlet:

:<math>F = m\ddot{x} = -kx\,</math>

Az általános matematikai alak:

:<math>\ddot{x} = -\alpha x\,</math>

Ennek megoldása:

:<math>x(t) = A\operatorname{cos}(\omega t + \phi)\,</math>

A kezdőfeltételek határozzák meg ''A''-t és <math>\phi</math>-t, a körfrekvenciára:
:<math>\omega = \sqrt{\alpha}\,</math>

===Csillapított és gerjesztett harmonikus oszcillátor===
A fenti probléma két további, bonyolított változata is egzaktul megoldható. Hozzáadhatunk az egyenlethez, egy sebességgel arányos csillapítást:

:<math>\ddot{x} = -\alpha x -\beta \dot{x}\,</math>

Ekkor a megoldás:
:<math>x(t) = \operatorname{exp}\left[ \frac{1}{2}\left(-\beta \pm \sqrt{\beta^2 - 4\alpha} \right)t\right],</math>

Három elkülönülő régió van, a négyzetgyök alatti mennyiség előjele alapján:
*Ha negatív: alulcsillapított, létrejön oszcilláció, ami lecseng,
*Ha nulla: kritikusan csillapított, egy félhullám lehet az egyensúly felé tartásban, de nincs nullátmenet,
*Ha pozitív: túlcsillapított: a kitérés mindig az egyensúlyi helyzet felé húz, hullámok nélkül.

A fenti differenciál-egynlethez állandó periodikus gerjesztőerőt is hozzáadhatunk:

:<math>\ddot{x} = -\alpha x -\beta \dot{x} + F(\omega_D)\, </math>

Az előbb részletezett három régió most is ugyanaz, a kezdeti állapotból a rendszer a csak csillapítottnál megfigyelhető relaxációval kerül be a gerjesztési amplitúdó és frekvencia által megszabott oszcillációhoz. Az explicit megoldásokat lásd [http://mathworld.wolfram.com/DampedSimpleHarmonicMotion.html itt].

===Regések összetétele===
Egyszerű trigonometriával belátható, hogy azonos frekvenciájú, de tetszőleges amplitudójú és fázisú harmonikus rezgőmozgások eredője is harmonikus rezgőmozgás, ugyanazzal a frekvenciával. Az amplitudóra az összegzés eredménye:

:<math>A^2 = A_1^2 + A_2^2 + 2 A_1 A_2 \operatorname{cos}(\phi_1 - \phi_2)\,</math>

és a fázisszögre:

:<math>\operatorname{tg}\delta = \frac{A_1 \operatorname{sin}\phi_1 + A_2 \operatorname{sin}\phi_2}{A_1 \operatorname{cos}\phi_1 + A_2 \operatorname{cos}\phi_2}</math>

Ezek a formulák tetszőleges számú, azonos frekvenciájú harmonikus rezgés összeadására általánosíthatóak.

Két eltérő frekvenciájú, de azonos amplitudójú és fázisú rezgés összetételének eredménye pedig:

:<math>x(t) = 2 A \operatorname{cos}\left(\frac{\omega_1 - \omega_2}{2}t \right)\cdot \operatorname{sin}\left( \frac{\omega_1 + \omega_2}{2}t\right)</math>

Az eredő amplitudó pedig:

:<math>A_E(t) = 2A \operatorname{cos} \left( \frac{\omega_1 - \omega_2}{2}t\right)\,</math>

Az eredő amplitudó időbeli harmonikus változása a lebegés jelensége.

===Csatolt rezgések===
Csatolt rezgésről akkor beszélünk, hogyha a testeket nem csak az egyensúlyihelyzetükhöz, hanem egymáshoz is harmonikus erő köti. A mozgásegyenletek ekkor:

:<math>m_1 \ddot{x}_1 = -D_1 x_1 + k( x_2 - x_1 )</math>
:<math>m_2 \ddot{x}_2 = -D_2 x_2 - k( x_2 - x_1 )</math>

Megfelelő változócserével a csatolás kitranszformálható, és két független harmonikus rezgőmozgást kapunk eredményül. Ezek összege és különbsége adja a helyfüggvényeket. Az itt megjelenő frekvenciákat ''normálfrekvenciáknak'' nevezzük. Ha megvizsgáljuk az energiaviszonyokat, akkor azt tapasztaljuk, hogy a két test harmonikus energiáján (<math>E = \frac{1}{2} mv^2 + \frac{1}{2}Dx^2</math>) kívül fellép egy csatolási energia is:
:<math>E_{csat} = \frac{1}{2} k (x_2 - x_1)^2</math>

A teljes energiamegmaradás ennek a három energiának az összegére érvényes. Az időfejlődés során periodikusan változik az egyik és a másik test rezgési amplitudója, szemléletesen az energia oda-vissza vándorol a két test között.

===Lineáris lánc===
Tekintsünk egy ''N'' tömepontból álló sorozatot, amelyet ideális rugók kötnek össze. Tekintsünk el a külső erőtértől. Ekkor az egyes mozgásegyenletek a következő alakúak:

:<math>m_1 \ddot{x}_1 = k_{12}(x_2 - x_1)</math>
:<math>m_2 \ddot{x}_2 = -k_{12}(x_2 - x_1)+k_{23}(x_3 - x_2)</math>
:<math>\vdots</math>
:<math>m_{N-1} \ddot{x}_{N-1} = -k_{N-2, N-1}(x_{N-1} - x_{N-2})+k_{N-1, N}(x_N - x_{N-1})</math>
:<math>m_N \ddot{x}_N = -k_{N-1, N}(x_N - x_{N-1})</math>

Osszunk át a tömegek ''négyzetgyökével'' és vezessük be a következő jelölést: <math>y_i = x_i \cdot \sqrt{m_i}</math>. Az egyszerűség kedvéért, csak szemléltetésül az egyik középső egyenlet így alakul:

:<math>\ddot{y}_i = -\frac{k_{i-1, i}}{\sqrt{m_i}} \left( \frac{y_i}{\sqrt{m_i}} - \frac{y_{i-1}}{\sqrt{m_{i-1}}} \right) + \frac{k_{i, i+1}}{\sqrt{m_{i}}} \left( \frac{y_{i+1}}{\sqrt{m_{i+1}}} - \frac{y_{i}}{\sqrt{m_{i}}} \right)</math>

Az így kapott egyenletrendszer sokkal áttekinthetőbb, ha mátrixos alakba írjuk.

:<math>\ddot{\mathbf{Y}} = \mathbf{M}\mathbf{Y} </math>

Az itt bevezetett '''M''' mátrix tartalmazza a tömegekből, és rugóállandókból adódó konstansokat. A fenti változócserére azért volt szükség, hogy ez a mátrix szimmetrikus legyen, így a sajátértékei valósak. Ez pedig azért jó, mert ekkor a sajátértékprobléma megoldásával megkapott sajátértékek a normálfrekvenciák négyzeteit adják, a sajátvektorok pedig a rezgési módusokat (azaz, hogy az egyes pontok mekkora amplitúdóval, milyen irányba rezegnek). A mátrixnak mindig lesz egy 0 sajátértéke, ez a transzlációt írja le. Az általános megoldás most is az egyes meghatározott frekvenciák és amplitúdók által definiált harmonikus rezgőmozgások eredője, amiben a szabad paramétereket (összesen 2N darab) a kezdőfeltételek szabják meg.

==A Kepler-probléma==
A Kepler-probléma a Newtoni-gravitációs erőtörvény hatására mozgó test mozgásegyenletének vizsgálata. Ez tulajdonképpen egy centrális erőtérben történő mozgás, azonban kitüntetett jelentősége volt a csillagászat fejlődésében, hiszen jó közelítéssel írja le a Bolygók mozgását a Nap körül.

===A bolygók mozgása===
Adott a Newton-i gravitációs erőtörvény, itt most vektoros alakban felírva:

:<math>\mathbf{F} = - \gamma \frac{mM}{r^2} \frac{ \mathbf{r}}{r}</math>

itt m az adott bolygó, M a Nap tömege. Ez az erő centrális, azaz a tekintett testek középpontján keresztül hat. Ebből következik, hogy a mozgás síkmozgás, amihez tartozik egy megmaradó mennyiség, az impulzusmomentum:

:<math>r^2 \omega = \lambda \,</math>

A mozgásegyenleteket polárkoordinátákban felírva a gyorsulás radiális egyenlete:

:<math>m\ddot{r} - m r \dot{\phi}^2 = - \gamma \frac{mM}{r^2}</math>

És a síkszöghöz tartozó egyenlet:

:<math>m\ddot{\phi} = m \frac{1}{r} \frac{d}{dt} (r^2 \dot{\phi} ) = 0</math>

hiszen az erőnek nincs ilyen irányú komponense. Ezt az egyenletet az impulzusmomentum állandósága megoldja, tehát csak az első egyenlet megoldása marad hátra. Ennek érdekében az idő szerinti deriváltakat átírjuk szögszerinti deriváltakra, azaz áttértünk a szögre, mint paraméterre. Az eredményül kapható differenciál-egyenlet:

:<math>\frac{d^2}{d\phi^2} \left( \frac{1}{r} - \frac{\gamma M }{\lambda ^2} \right) = - \left( \frac{1}{r} - \frac{\gamma M }{\lambda ^2} \right) </math>

ami nem más, mint egy harmonikus oszcillátor egyenlete. Ennek ismert a megoldása, amelyből a sugár kifejezhető:

:<math>r(\phi) = \frac{\lambda ^2}{\gamma M} \frac{1}{1 + \frac{A \lambda ^2}{\gamma M}\operatorname{cos}(\phi + \alpha)}</math>

A koszinuszos tag szorzófaktora az ekcentricitás, a külső tört szorzófaktora a pálya paramétere. A kapott egyenlet egy kúpszelet egyenlete.

===A Kepler-mozgások és a kúpszeletek kapcsolata===
Az előzőekben bemutattuk, hogy a Kepler-probléma kúpszelet egyenletre vezet, amelyek általános alakja:

:<math>r(\phi) = \frac{p}{1 + \epsilon\operatorname{cos}(\phi + \alpha)}</math>

Ekkor három alapvetően különböző mozgás jöhet létre, amelyeket az excentricitás különböztet meg:
*<math>\epsilon < 1</math>: Ellipszis (speciálisan, 0 esetén kör),
*<math>\epsilon = 1</math>: Parabola,
*<math>\epsilon > 1</math>: Hiperbola.

Ezek kifejezhetőek az energiával is:
*<math>E < 0</math>: Ellipszis,
*<math>E = 0</math>: Parabola,
*<math>E > 0</math>: Hiperbola.

===Kozmikus sebességek===
A fenti energiák fontosak az űrkutatásban. Ha a Földről indítunk egy testet, akkor a legkisebb energiájú stabil pálya a valamely ellipszis pálya elérése. Első kozmikus sebességnek nevezzük a föld sugarával egyező körpálya eléréséhez szükséges sebességet, ez kb. 7,9 km/s. A második kozmikus sebesség a Föld gravitációs terének elhagyása, azaz a fenti esetek közül a parabolikushoz tartozó sebesség, ez kb.: 11,2 km/s. A harmadik kozmikus sebesség az előző, de a Napra viszonyítva, azaz ebben az esetben a naprendszer elhagyásáról beszélünk. Ez megközelítőleg 42,1 km/s.

==Kvantummechanikai problémák==
===Potenciálvölgy===
===Oszcillátor Sommerfeld-módszerrel===
A lineáris harmonikus oszcillátor energia operátora:

<math>\mathbf{E} = \frac{ \mathbf{p} ^{2}}{2 \mu} + \frac{ \omega^{2} \mu}{2} \mathbf{x}^{2}</math>.

Az <math>\mathbf{x}</math> operátor helyére az x szerinti szorzást, a <math>\mathbf{p}</math> helyére pedig a <math>\frac{\hbar}{i} \frac{d}{dx}</math>-t írva a sajátérték-egyenlet:

<math> -\frac{\hbar^{2}}{2 \mu} \frac{d^{2} \psi}{dx^{2}} + \frac{\omega^{2} \mu}{2} x^{2} \psi = E \psi </math>, ebből:

<math> \frac{d^{2} \psi}{dx^{2}} + \frac{2 \mu}{\hbar^{2}} \Bigl( E - \frac{1}{2} \mu \omega^{2} x^{2} \Bigr) \psi = 0 </math>.

Bevezetve a <math> k = \frac{2E}{\hbar \omega} </math> jelölést és x-ről áttérve a <math> \xi = \sqrt{\frac{\mu \omega}{\hbar}} x </math> változóra az egyenlet a következőképpen néz ki:

<math> \frac{d^{2} \psi}{d \xi^{2}} + (k-\xi^{2}) \psi = 0 </math>.

Az egyenlet aszimptotikus alakja: <math> \frac{d^{2} \psi}{d \xi^{2}} - \xi^{2} \psi = 0 </math>. Ennek megoldása: <math> \psi_{a} = e^{-\xi^{2}/2}</math>. Az eredeti egyenlet megoldását a Sommerfeld-féle polinom-módszer segítségével szeretnénk megkapni, ezért a pontos megoldást <math> \psi = e^{-\xi^{2}/2} v(\xi) </math> alakban keressük. Ezt beírva a differenciálegyenletbe kapjuk:

<math> \frac{d^{2} v}{d\xi^{2}} - 2\xi \frac{dv}{d \xi} + (k-1) v = 0 </math>.

<math> v(\xi) = \sum_{r = 0}^{n} c_{r} \xi^{r} </math> alakban felírva képezzük <math> v(\xi) </math> első és második deriváltját:

<math> \frac{dv}{d \xi} = \sum_{r} r c_{r} \xi^{r-1} </math>,

<math> \frac{d^{2}v}{d \xi^{2}} = \sum_{r} r (r-1) c_{r} \xi^{r-2}</math>.

Ezt beírva <math>v</math> differenciálegyenletébe: <math> \sum_{r} \Bigl( (r+2)(r+1) c_{r+2} - (2r + 1-k) c_{r} \Bigr) \xi^{r} = 0 </math>.

Ez akkor igaz, ha <math> \xi </math> minden hatványának együthatója 0. Így egy rekurzív összefüggést kapunk a <math> c_{r} </math> együtthatók között:

<math>c_{r+2} = \frac{2r + 1-k}{(r+2)(r+1)} c_{r} </math>.

Belátható, hogy r = n fokszámtól kezdve az összes együtthatónak azonosan 0-nak kell lennie, ezért 2n + 1 = k. Az E és k közötti összefüggés alapján így az energia sajátértékek:
<math> E_{n} = \hbar \omega \Bigl( n+ \frac{1}{2} \Bigr) = h \nu \Bigl( n + \frac{1}{2} \Bigr) </math>.

Az egyes energia sajátértékekhez tartozó sajátfüggvények: <math> \psi_{n} = e^{-\xi^{2} / 2} v_{n}(\xi)</math>, ahol <math>v_{n}(\xi) = H_{n}(\xi) </math> ún. Hermite-polinom.

=== Oszcillátor léptető operátorokkal ===
A harmonikus oszcillátor Hamilton-operátora némi alakítgatás után:
:<math>\mathbf{H}=\hbar \omega \frac{m \omega}{2 \hbar} \left( x^2 + \frac{1}{m^2 \omega^2} + \frac{1}{2}\right)= \hbar \omega \left( \sqrt{\frac{m \omega}{2 \hbar}}\left( x - \frac{i}{m \omega}p\right) \sqrt{\frac{m \omega}{2 \hbar}}\left( x + \frac{i}{m \omega}p\right) + \frac{1}{2}\right) = \hbar \omega ( a^\dagger a + \frac{1}{2})</math>
A léptetőoperátorok:
:<math> a = \sqrt{\frac{m \omega}{2 \hbar}}\left( x + \frac{i}{m \omega}p\right) </math>
:<math> a^\dagger = \sqrt{\frac{m \omega}{2 \hbar}}\left( x - \frac{i}{m \omega}p\right) </math>
ezek természetesen egymás adjungáltjai. A felcserélési reláció:
:<math>[a,a^\dagger]=1\,</math>
Legyen <math>a^\dagger a = N</math> a részecskeszám-operátor. Koncentráljunk ennek a sajátállapotaira:
:<math>N | n \rangle = n | n \rangle</math>
Könnyen megmutatható, hogy ha <math>|n \rangle</math> sajátállapota N-nek, akkor <math>a|n \rangle</math> és <math>a^{\dagger}|n \rangle</math> is:
:<math>N a | n \rangle = (n-1) a | n \rangle</math>
:<math>N a^{\prime} | n \rangle = (n+1) a | n \rangle</math>
az így kapott sajátállapotok nem normáltak. Mivel <math>a | n \rangle</math> normája n, ezért a normált állapotok:
:<math>a | n \rangle = \sqrt{n} | n-1 \rangle</math>
és hasonlóan:
:<math>a^\dagger | n \rangle = \sqrt{n+1} | n+1 \rangle</math>
Tehát elindulva egy n sajátérékről, az a eltüntető operátor n-1,n-2,... sajátértékkel generál új N sajátállapotokat. Ezek sorozata viszont nem mehet negatívba, hiszen az N sajátérétke egyben a :<math>a | n \rangle</math> normája ami nem negatív. Ez csak úgy lehet, ha n egész értékéről indulunk, majd elérünk n=0-hoz és akkor:
:<math>a | 0 \rangle = 0</math>
Ebből az egyenletből rögtön adódik az alapállapoti hullámfüggvény, a keltő operátor alkalmazással pedig a gerjesztett állapotok hullámfüggvényei. A spektrum is azonnal leolvasható.

===Rotátor===
A forgó mozgást végző tömegpontot rotátornak nevezzük. Szabadon forgó tömegpont energia sajátérték egyenlete: <math> -\frac{\hbar}{2 \mu} \Delta \psi = E \psi</math>. A problémához leginkább a térbeli polárkoordináta-rendszer illeszkedik, ugyanis a forgás centrumától mért r távolság állandó.

A Laplace-operátor polárkoordináta rendszerben: <math> \Delta = \frac{\partial^{2} }{\partial r^{2}} + \frac{2}{r} \frac{\partial}{\partial r} + \frac{1}{r^{2}} \Bigl( \frac{\partial^{2}}{\partial \vartheta^{2}} + \cot(\vartheta) \frac{\partial }{\partial \vartheta} + \frac{1}{(\sin(\vartheta))^{2}} \frac{\partial^{2}}{\partial \varphi^{2}} \Bigr) </math>.

r = állandó, ezért <math> \psi = \psi(\vartheta, \varphi) </math> csak a szögektől függ:

<math> \frac{\partial^{2} \psi }{\partial \vartheta^{2}} + \cot{\vartheta} \frac{\partial \psi }{\partial \vartheta} + \frac{1}{(\sin(\vartheta))^{2}} \frac{\partial^{2} \psi }{\partial \varphi^{2}} = - \frac{2 \mu r^{2}}{\hbar^{2}} E \psi </math>.

Legyen <math> \mu r^{2} = \Theta </math> (a tehetetlenségi nyomaték a forgás centrumára vonatkozóan). Az egyenlet a következő alakra módosul:

<math> \frac{\partial^{2} \psi }{\partial \vartheta^{2}} + \cot{\vartheta} \frac{\partial \psi }{\partial \vartheta} + \frac{1}{(\sin(\vartheta))^{2}} \frac{\partial^{2} \psi }{\partial \varphi^{2}} + \frac{2 \Theta}{\hbar^{2}} E \psi = 0 </math>.

<math> \psi(\vartheta, \varphi) = F(\vartheta)G(\varphi) </math> alakban keresve a megoldást:

<math> F^{\prime \prime}G + \cot(\vartheta) F^{\prime}G + \frac{1}{(sin(\vartheta))^{2}}F G^{\prime \prime} + \frac{2 \Theta}{\hbar^{2}} E F G = 0 </math>.

Átalakítva: <math> \frac{F^{\prime \prime}}{F} (\sin(\vartheta))^{2} + \cos(\vartheta) \sin(\vartheta) \frac{F^{\prime}}{F} + \frac{2 \Theta}{\hbar^{2}} E (\sin(\vartheta))^{2} + \frac{G^{\prime \prime}}{G} = 0 </math>.

A <math> \vartheta </math>-tól és a <math> \varphi </math>-től függő részek külön-külön állandók kell, hogy legyenek:

<math> \frac{G^{\prime}}{G} = -m^{2} </math>, azaz <math> G = e^{i m \varphi} </math>.

Az azimutszöget <math> 2 \pi</math>-vel növelve ugyanabba a pontba jutunk vissza, ezért meg kell követelnünk, hogy <math> e^{i m 2 \pi} = 1</math> legyen.

Az F-et meghatározó egyenletnél érdemes a <math> \xi = \cos(\vartheta) </math> változóra áttérni, így az eredeti egyenletet <math> F/(1- \xi^{2}) </math>-tel megszorozva (<math> (1-\xi^{2}) \neq 0 </math>) kapjuk:

<math> (1- \xi^{2}) \frac{\partial^{2} F}{\partial \xi^{2}} - 2 \xi \frac{\partial F}{\partial \xi} + \Bigl( \frac{2 \Theta}{\hbar^{2}} E - \frac{m^{2}}{(1-\xi^{2})} \Bigr) F = 0 </math>.

A <math> \xi = 1</math>-ben a differenciálegyenletnek szingularitása van, hogy a megoldás itt is véges legyen, ezért <math> F(\xi) = (1-\xi^{2})^{\frac{|m|}{2}} v(\xi) </math>. Ezt visszaírva és a kapott egyenlet megoldását a polinom-módszer alapján <math> v(\xi) = \sum_{r=0} c_{r} \xi^{r} </math> alakban keresve kapjuk:

<math> \sum_{r} \left((r+2)(r+1) c_{r+2} - \Bigl[ (r+|m|)(r+|m|+1)- \frac{2 \Theta E}{\hbar^{2}} \Bigr] c_{r} \right) \xi^{r} = 0 </math>.

Ez alapján a <math> c_{r} </math> együtthatókra egy rekurziós képletet kapunk: <math> c_{r+2} = \frac{(r+|m|)(r+|m|+1) - \frac{2 \Theta E}{\hbar^{2}}}{(r+2)(r+1)} c_{r} </math>.

Ahhoz, hogy a sajátfüggvény reguláris legyen egy bizonyos fokszámú együtthatótól kezdve az összes értéke azonosan 0 kell hogy legyen. A lehetséges energia-sajátértékek így: <math> E_{l} = \frac{\hbar^{2}}{2 \Theta} l (l+1) </math>, ahol <math> k + |m| \ge 0</math>-t jelöltük l-el (l = 0, 1, 2, ...).

A differenciálegyenletet kielégítő polinom neve módosított Legendre-polinom, amit <math> P_{l}^{m} </math> szimbólummal jelölünk. A forgó mozgást végző tömegpont sajátfüggvényei tehát a gömbfüggvények:

<math> \psi_{lm}(\vartheta, \varphi) = Y_{lm}(\vartheta, \varphi) = \sqrt{\frac{2l+1}{4 \pi}\frac{(l-m)!}{(l+m)!}}P_{l}^{m}[\cos(\vartheta)]e^{i m \varphi}</math>.

A teljes energia: <math>E_l = \frac{\hbar ^2}{2\mu r^2}l(l+1).</math>

Az impulzusmomentum négyzete: <math>L^2 = \hbar ^2 l(l+1),</math> a <math>z</math> irányú vetülete pedig <math>L_z = \hbar m.</math>

===A Schrödinger-egyenlet megoldása Coulomb-potenciálban, H-atom===

A szögfüggő tagok leválasztása után:

:<math> \left( - \frac{\hbar ^2}{2M} \frac{1}{r} \frac{d^2}{dr^2} r + \frac{\hbar ^2 l(l+1)}{2Mr^2}-\frac{e^2}{4 \pi \epsilon _0 r} \right) R_l(r) = E \cdot R_l(r)</math>

Bevezetve <math>u=rR</math>-t:

:<math>- \frac{\hbar ^2}{2M} u\prime \prime(r) + \left( \frac{\hbar^2 l(l+1)}{2Mr^2} - \frac{e^2}{4 \pi \epsilon_0 r} - E \right) u(r) = 0 </math>

Ezek után dimenziótlanítunk. Legyen <math>\rho=r/r_B</math> és <math>\epsilon=E/Ry</math>, ahol a Bohr-sugár <math>r_B=\frac{4 \pi \epsilon_0 \hbar^2 }{M_e e^2}</math> és a Rydberg-állandó <math>Ry=\frac{e^4 M_e}{(4 \pi \epsilon_0)^2 2 \hbar^2}</math>. Ekkor:

:<math>-\frac{d^2 u}{d \rho^2} + \left( \frac{l(l+1)}{\rho^2} - \frac{2}{\rho} - \epsilon \right) u = 0</math>

A szükséges határfeltételek:
* <math>\rho \rightarrow \infty</math>-ben u=0.

* <math>\rho \rightarrow 0</math>-ban?

Ha <math>\rho \rightarrow a \neq 0</math> akkor <math>R \propto \rho^-1</math>, erre hattatva a Laplace operátort az origóban Dirac-deltát kapunk, vagyis nem elégítjük ki a Schrödinger-egyenletet. Ezért itt is u=0 lesz a határfeltétel.

Az egyenlet megoldási módszere Sommerfeld féle polinom módszer:
* Megoldjuk az egyenletet aszimptotikusan.
Az aszimptotikus megoldás <math>\rho \rightarrow \infty</math>-ben <math>e^{\pm \alpha \rho}</math> ahol <math>\alpha = \sqrt{|\epsilon|}</math>. A norma miatt csak a negatív előjel jó.

* A megoldást <math>f(r) \cdot \psi_a(r)</math> alakban keressük, ahol <math> f(r)=\sum a_n r^n</math> hatványsor. Az f(r) eredeti egyenletbe való visszahelyettesítése után kapunk egy rekurziót az <math>a_n</math>-ekre.
* A rekurzió megoldása elrontja az aszimptotikát, az egyetlen megoldás, ha a hatványsorunk véges, vagyis valamilyen n-re <math>a_n=0</math>. Ebből a feltételből közvetlenül kapjuk az energiaszinteket. Az együtthatók kiszámolásával pedig a sajátfüggvényeket.

Az energiaszintek:

:<math>\epsilon = - \frac{1}{n^2}</math>

Minden energiaszint <math>\sum\limits_{l=0}^{n-1}(2l+1)=n^2</math>-szeresen degenerált.

===Klasszikus határesetek===

{{Záróvizsga}}

Kontinuitási egyenlet

2011-06-26T16:57:00Z

Bertalan: Új oldal, tartalma: „:<math>\frac{\partial \rho}{\partial t} + \mathbf{div} (\rho \vec{v})=0</math> :<math>\frac{\partial \rho}{\partial t} + \mathbf{div} \vec{j}=0</math> Bővebben: []”

:<math>\frac{\partial \rho}{\partial t} + \mathbf{div} (\rho \vec{v})=0</math>

:<math>\frac{\partial \rho}{\partial t} + \mathbf{div} \vec{j}=0</math>

Bővebben: []

Diffúziós egyenlet

2011-06-26T16:48:20Z

Bertalan: Új oldal, tartalma: „ :<math>\frac{\partial p}{\partial t} = D\frac {\partial^2 p}{\partial x^2}</math> Bővebben: Nemegyensúlyi folyamatok leírása#Ingadozási jelenségek”

:<math>\frac{\partial p}{\partial t} = D\frac {\partial^2 p}{\partial x^2}</math>

Bővebben: [[Nemegyensúlyi folyamatok leírása#Ingadozási jelenségek]]

Nemegyensúlyi folyamatok leírása

2011-06-26T16:47:29Z

Bertalan: /* Brown-mozgás, Diffúzió, Brown-mozgás potenciálban */

==Irreverzibilis folyamatok==
Az irreverzibilis folyamatokban fontos szerepet játszanak az intenzív fizikai mennyiségekkel (hőmérséklet, nyomás, elektromos potenciál) kapcsolatos hajtóerők. Ezek megfigyelésével vizsgálhatjuk a nyílt rendszerek időfüggő energetikai folyamatait, illetve választ adhatunk arra is, hogy egy folyamat miért gyors vagy lassú.

Egy tetszőleges termodinamikai rendzser entrópiaváltozása két tagból tevődik össze: egy külső forrásból eredő (<math>\Delta S_k</math>) és egy belső entrópiaváltozással kapcsolatos (<math>\Delta S_b</math>). A belső entrópia változás nem a környezettel való energiacserével kapcsolatos, hanem a rendszerben lejátszódó termodinamikai folyamatok következménye. Irreverzibilis folyamatban a belső entrópia értéke mindig nő (reverzibilisnél állandó).

Nyílt rendszerre általában igaz, hogy a belső entrópia nő, de csökkenhet is. Nagyon fontos az irreverzibilis folyamatokban az idő, jellemzően a mennyiségek időderiváltjai fizikai jelentést hordoznak.

Entrópiaprodukciónak nevezzük a belső entrópia időbeli változásának gyorsaságát, vagyis:

<math>\sigma=\lim_{\Delta t \to 0} \dfrac{\Delta S_b}{\Delta t}=\dfrac{d S_b}{d t}</math>.

Az időegység alatti belsőentrópia-változás mértékegysége <math>J/(K*s)</math>.

Az [[entrópia]] megváltozásának teljes egyenlete:

<math>dS=\frac{\delta Q}{T}+dS_{sp}+\frac{\delta W_{irr}}{T}</math>, ahol

<math>\delta Q</math> a hőváltozás, <math>dS_{sp}</math> a spontán entrópiaváltozás (mindig nagyobb 0-nál), <math>\delta W_{irr}</math> az [[irreverzibilis]] folyamat alatt végett [[munka]], T a [[hőmérséklet]].

:Pl.: Ha veszünk egy [[zárt rendszer]]t (két kamra: egyikben gáz, másikban vákuum) és elvesszük a falat, akkor a [[gáz]] kitölti a másik térrészt is. Ekkor: Q=0, W=0, <math>\Delta S>0</math>!!

:A lényeg, hogy a rendszer önmagával legyen [[egyensúly]]ban. A fenti egy spontán irreverzibilis folyamat (kvázisztatikus rendszer folyamat). Egy ilyen során az entrópia keletkezik. Tehát az entrópia nem marad meg, de csak keletkezni “szeret”.

További példás spontán S termelődésre (ha zárt rsz. nincs egyensúlyban, akkor S nőni fog):

Pl. [[Fenomenologikus termodinamika (2010)#Reális gázok|Gay-Lussac-kísérlet]]: vákuummal szembeni tágulás: <math>\Omega(E,V,N)\rightarrow V</math> nő <math>\Rightarrow\Omega</math> nő <math>\Rightarrow</math> S nő....

Pl2. Eltérő [[hőmérséklet]]ű tartályok: <math>E_{ossz}=E_{1}+E_{2}\Longrightarrow\Omega(E_{1})=\Omega_{1}(E_{1})\Omega_{2}(E_{ossz}-E_{1})</math> ekkor <math>\Omega</math> eléri a max értéket és S spontán nőni fog...

==Master egyenlet, részletes egyensúly.==

''megjegyzés: a jobb olvashatóság érdekében az ábrán szereplő: n'=m''

Van egy rendszerünk, aminek van n [[diszkrét állapot]]a, amik között ugrál.

*<math>p_n(t):</math> - annak a [[valószínűség]]e, hogy a rendszer az n-edik állapotban van.

*Tegyük fel, hogy tudom, hogy egységnyi idő alatt mi annak a valószínűsége, hogy a rendszer '''n-ből m állapotba megy át'''.

Ennek jelölése: <math>w_{m n}</math>. Nem tudunk róla semmit, de tegyük fel, hogy ismerjük az értékét.

*Tegyük fel, hogy az átmenetek folyamata [[Markov-folyamat]], tehát létezik olyan <math>\Delta t</math>, hogy már csak a t mondja meg, hogy mi történik <math>t + \Delta t</math>-ben. (És tegyük fel, hogy az átmenetek megvalósulnak.)

Ekkor:

<math>p_n(t+\Delta t) = p_n(t) - \sum_{m \ne n}w_{m n}\Delta t p_n(t) + \sum_{m \ne n}w_{n m}\Delta t p_{m}(t)\,
</math>

Azt szeretnénk megtudni, mekkora [[valószínűség]]gel lesz a rendszerünk az n. állapotban <math>t+\Delta t</math> időpillanatban. Ez szerepel az egyenlet bal oldalán.

A jobboldalon a következő tagok állank:

* 1. tag: Annak valószínűsége, hogy már t időpillanatban is az n. állapontban volt a rendszer (ezt ismertnek tekintjük)

* 2. tag: Annak valószínűsége, hogy t időpillanatban az n. állapotban volt, és <math>\Delta t</math> idő múlva ellépett onnan (ezért levonjuk)

* 3. tag: Annak valószínűsége, hogy t időpillanatban az másik állapotban volt, de <math>\Delta t</math> idő múlva az n. állapotba került.

::(<math>w_{m n}</math> és <math>w_{n m}</math> egységnyi időre vonatkozik)

Sorba fejtek <math>\Delta t</math> körül, így <math>p_{n}(t+\Delta t)=p_{n}(t)+\frac{\partial p_{n}}{\partial t}\Delta t</math>

Ezt felhasználva <math>p_n(t)</math> kiesik, majd <math>\Delta t</math>-vel egyszerűsíthetünk. Ami marad::

:{|border="1"
|<math>\frac{\partial p_n}{\partial t} = -\sum_{m}w_{m n}p_n(t) + \sum_{m}w_{n m}p_{m}(t)</math>
|A [[Master-egyenlet]] diszkrét állapottérben
|-
|}

Ennek kell, hogy legyen [[stacionárius]] megoldása, amihez [[relaxál]]: (<math>p_n^{(e)}</math> - egyensúlyi valószínűség)

<math>p_n^{(e)} = \frac{1}{z} e^{-\beta E_n}</math>, ahol <math>E_n</math> az n-edik állapot [[energia|energiája]].

Ha ezt helyettesítem be, akkor a bal oldal 0 lesz.

Vizsgáljuk ezt egy egyszerű példán keresztül: [[bináris atomok rendszere]].

Két energiaszint lehetséges: <math>\epsilon_{+}</math> (ilyen atomok száma <math>p_{+}(t)</math>), <math>\epsilon_{-}</math> (ilyen atomok száma <math>p_{-}(t)</math>).

Az átmenetek valószínűsége:<math>+ \rightarrow - \quad \mu</math> ; <math>- \rightarrow + \quad \nu</math>.

Írjuk fel egy későbbi időpontban az <math>\epsilon_{+}</math> energiájú atomok számát: <math>p_{+}(t+\Delta t)=p_{+}(t)(1-\mu \Delta t)+p_{-}(t)\nu\Delta t</math>.

A jobb oldal első tagja adja meg, hány részecske nem váltott állapotot, míg a második tag azt, mennyi váltott.

Némi átrendezés után <math>\dfrac{p_{+}(t+\Delta t)-p_{+}(t)}{\Delta t}=\dfrac{d p_{+}(t)}{dt}=-\mu p_{+}(t)+\nu p_{-}(t)(=-\dfrac{p_{-}(t)}{dt})</math>.
Tételezzük továbbá fel, hogy normált az eloszlás: <math>p_{+}(t)+p_{-}(t)=1</math>.
A stacionárius megoldás a normáltsági feltétellel a következőre vezet: <math>p_{+}=\dfrac{\nu}{\mu+\nu} \quad p_{-}=\dfrac{\mu}{\mu+\nu}</math>.

Beírva a Boltzmann-faktort, a stacionárius megoldás:
<math>p_{+}=\dfrac{e^{-\beta \epsilon}}{e^{-\beta \epsilon}+e^{\beta \epsilon}}, \quad p_{-}=\dfrac{e^{\beta \epsilon}}{e^{-\beta \epsilon}+e^{\beta \epsilon}}</math>.

A kettő arányára pedig fennáll a következő: <math>\dfrac{p_{+}}{p_{-}}=e^{-2 \beta \epsilon}=\dfrac{\nu}{\mu}</math>

*Tegyük fel, hogy meg tudom úgy adni az átmeneti [[valószínűség]]eket, hogy a rendszer beugorjon az egyensúlyi állapotba.

*Hogyan kell megválasztani az átmeneti valószínűségeket?

'''Az átmeneti valószínűségek megválasztása'''
* Egyensúlyban [[időtükrözési szimmetria]] van.

[[Kép:egyensuly.png|center|thumb|A rendszer két állapota közötti átmeneti valószínűségek "kimérése"]]

Számolom, hogy (irány szerint megkülönböztetve) hányszor megy egyikből a másik állapotba a rendszer.

* Stacionárius állapotban <math>\Delta t</math> idő alatt az átmenetek száma:
:::::n-ből m-be menve: <math>w_{m n}p_n^{e}</math>
:::::m-ből n-be menve: <math>w_{n m}p_{m}^{e}</math>

*A '''részletes egyensúly''' elve azt mondja ki, hogy a két számnak meg kell egyeznie, azaz:

:{|border="1"
|<math>w_{m n}p_n^{e} = w_{n m}p_{m}^{e}</math>
|Megkötés az átmeneti valószínűségek hányadosára
|-
|}

Ha az állapotok száma véges és a rendszer minden pontjából minden másik pontjába el tudok jutni, akkor egyetlen [[stacionárius]] állapot lesz, az [[egyensúly]]i.

Csak az átmeneti [[valószínűség]]ek hányadosára van megkötés, azaz:
<math>\frac{w_{m n}}{w_{n m}} = \frac{e^{-\beta (E_{m})}}{e^{-\beta (E_{n})}} = \frac{e^{-\beta (E_{m}-E_n)}}{1} = \frac{1}{e^{-\beta (E_n-E_{m})}}</math>

Ha <math>E_{m}-E_n = \Delta E_{n m} > 0</math> (azaz az energia nő), az e-ados tag 1-nél kisebb lesz, tehát vehetem azt az átmeneti valószínűségnek. Ha csökken az [[energia]], akkor az energiacsökkenés felé vivő lépést 1 valószínűséggel lépem meg.

Bizonyítás: <math>\partial_t p_n(t) = -\sum_{m}w_{m n}p_n(t) + \sum_{m} w_{n m}p_{m}(t) = 0</math> (egyensúly esetén). Tehát:
<math>0 = -\sum_{m}(w_{m n}p_n^{e}-w_{n m}p_{m}^{e})</math> Páronként kioltják egymást. Ezért hívják részletes egyensúlynak, mivel nem csak az egész összeg nulla, hanem az állapotok között páronként van egyensúly. (Ehhez egy [[gráf|összefüggő gráf]] kell)

==Entrópia és szabadenergia==
Ide még jön egy szemléletesebb magyarázat az entrópiára (pl másik tételben is szerepel.) Cz

Tulajdonképpen valószínűleg ide a Bércesék által írt Mechanika II.-ből a 550-552 oldal környéke a legrelevánsabb. [[Speciális:Szerkesztő közreműködései/94.27.225.23|94.27.225.23]] 2009. június 22., 09:14 (UTC)

===Irreverzibilis folyamatok===
Ha egy rendszert például master egyenelttel írunk le, abból is levezethető az entrópia és a szabadenergia. Az [[entrópia]] triviálisan felírható az állapotok valószínűségeiből:

:<math>S = - \sum_i p_i \operatorname{log}_2(p_i)</math>

Ebből pedig a [[szabadenergia]]:

:<math>F = \sum_i p_i E_i - T \cdot S </math>

Az [[irreverzibilis]] szabadenergia mindig nagyobb, mint a [[reverzibilis]] folyamatokban. Az entrópiára pedig továbbra is a második főtétel alkalmazható.

'''Ismétlésül:'''
A termodinamikai entrópia fogalma:
<math>\delta Q=T\delta S</math>, ahol Q a hő (azaz két különböző hőmérsékletű rendszer közötti spontán
energiacsere), dS pedig az entrópiaváltozás.
Átrendezve: <math>\delta S=\frac{\delta Q}{T}</math>

Állapotjelzők:
extenzív (összeadódik): n, belső energia, V, S
intenzív (kiegyenlítődik): p, T, <math>\mu</math>
A Termodinamika első főtétele: <math>dU=\delta Q-\delta W+\mu dN</math> (egy komponensű elegyre)

A Termodinamika második főtétele: <math>\delta Q=TdS;\qquad\delta W=pdV</math>
Fundamentális egyenlet az előző kettőből: <math>dU=TdS-pdV+\mu dN</math>
''Termodinamikai Potenciálok'': Alapvető skalár potenciálok, természetes változóikban
állandó rendszer esetén minimumra törekszenek, azaz egyensúlyban minimálisak.
U, F, H, G négy termodinamikai potenciál:
* A szabad energia definíciója: F = U - TS
* Az entalpia definíciója: H = U + pV
* A szabad entalpia definíciója: G = U + pV – TS = H - TS

A belső energiára vonatkozó fundamentális egyenletből Legendre transzformációval
további Fundamentális egyenletek kaphatóak. Pl:
<math>dF=-SdT-pdV+\mu dN</math>

A '''Boltzmann-féle entrópia''' definíciója: <math>S=k_{B}ln\Omega(E),\quad</math>
ahol <math>\Omega(E)</math> a mikroállapotok száma.

Kanonikus tárgyalásmódban az állapotösszeg: <math>z=\sum_{m}e^{-\beta E_{m}}</math>
Ezt, az első fundamentális egyenletet és a Boltzmann-entrópi definícióját felhasználva:
<math>F=-k_{B}T\ln z</math>
További sűrűn használatos, származtatható összeföggések:
<math>U=-\frac{\partial}{\partial\beta}\ln z;\qquad c_{V}=\frac{\partial U}{\partial T}</math>

Fundamentális egyenletekből:
<math>\left(\frac{\partial S}{\partial U}\right)_{V,N}=\frac{1}{T};\qquad\left(\frac{\partial S}{\partial V}\right)_{U,N}=\frac{p}{T};\qquad\left(\frac{\partial S}{\partial N}\right)_{V,U}=-\frac{\mu}{T}</math>
<math>\left(\frac{\partial F}{\partial T}\right)_{V,N}=-S;\qquad\left(\frac{\partial F}{\partial V}\right)_{T,N}=-p;\qquad\left(\frac{\partial F}{\partial N}\right)_{V,T}=\mu</math>

Ezekből felírható a Helmholtz-egyenlet: <math>F=U+T\frac{\partial F}{\partial T}</math>

==Ingadozási jelenségek==

===Brown-mozgás, Diffúzió, Brown-mozgás potenciálban===

''Alapfeltevések''
# A részecskék egymástól függetlenül mozognak.
# <math>\tau</math> <nowiki><<</nowiki> megfigyelési idő minimuma (ezen túl a mozgás az előzőektől függetlennek tekinthető)
# Az elmozdulásnak van egy valószínűségi eloszlása. A mozgás leírható [[valószínűség]]i alapon.
''Jelölések''
*<big><math>n\Phi(\Delta)d\Delta</math></big>: annak valószínűségét adja meg, hogy n darab részecske <math>\Delta</math>-t ugrik <math>\tau</math> idő alatt.
*<big><math>p(x,t)dx</math></big>: annak valószínűsége, hogy t időpontban alatt x-ben van a részecske.

[[Kép:bolyong.png|center|thumb|A Brown-mozgás szemléltetése egy dimenzióban]]

''' Az [[Einstein]]-féle leírás (1905)'''

:Annak [[valószínűség]]e, hogy a részecske <math>\tau</math> [[idő]] múlva az x és x+dx közötti tartományban foglal helyet:
:<math>p(x,t+\tau)dx = p(x,t)dx - \int\limits_{-\infty}^\infty p(x,t)dx\Phi(\Delta)d\Delta + \int\limits_{-\infty}^\infty p(x-\Delta,t)dx\Phi(\Delta)d\Delta</math>

:Az [[egyenlet]] jobb oldalának első tagja annak [[valószínűség]]e, hogy a részecske már t időpillanatban is az x és x+dx közötti tartományban volt. A második tag annak valószínűségét adja meg, hogy <math>\tau</math> idő múlva éppen arrébbmegy egy bármekkora <math>\Delta</math> ugrással másik helyre. A harmadik tag annak valószínűségét adja, hogy a részecske valamekkora <math>\Delta</math> távolságról éppen <math>\Delta</math>-t ugorva megérkezik <math>\tau</math> idő múlva.

: Az egyenletet dx-szel végigoszthatjuk hiszen a dx-ek (és a p(x,t) is) mindegyik [[integrál]]jel elé kiemelhetőek, hiszen nem függnek <math>\Delta</math>-tól, ekkor:

:<math>p(x,t+\tau) = p(x,t) - p(x,t)\int\limits_{-\infty}^\infty \Phi(\Delta)d\Delta + \int\limits_{-\infty}^\infty p(x-\Delta,t)\Phi(\Delta)d\Delta</math>

:És mivel <math>\int\limits_{-\infty}^\infty \Phi(\Delta)d\Delta = 1</math> (hiszen <math>\Phi(\Delta)d\Delta</math> annak [[valószínűség]]ét adja meg, hogy egy részecske <math>\Delta</math>-t ugrik <math>\tau</math> idő alatt, aminek a valószínűsége a teljes térre egy kell, hogy legyen - itt jegyzem meg, hogy <math>\Phi(\Delta) = \Phi(-\Delta)</math>), ennek következtében a jobb oldal első két tagja kiejti egymást és az egyenlet a következő alakra egyszerűsödik:

:{|border="1"
|<math>p(x,t+\tau) = \int\limits_{-\infty}^\infty p(x-\Delta,t)\Phi(\Delta)d\Delta</math>||Chapman-Kolmogorov egyenlet
|-
|}

A fenti egyenletet <math>\tau</math>-ban és <math>\Delta</math>-ban sorbafejtjük, az alábbiak szerint:

<math>p(x,t+\tau) = p(x,t) + \frac{\partial p}{\partial t} \tau + ...</math>

<math>p(x-\Delta,t) = p(x,t) - \frac{\partial p}{\partial x} \Delta + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 p}{\partial x^2} \Delta^2</math>

Ekkor a következő egyenletet kapjuk:

<math>p(x,t) + \frac {\partial p}{\partial t}\tau = \int\limits_{-\infty}^\infty p(x,t)\Phi(\Delta)d\Delta - \frac {\partial p}{\partial x}\int\limits_{-\infty}^\infty \Delta \Phi(\Delta)d\Delta + \frac {1}{2} \frac {\partial^2 p(x,t)}{\partial x^2}\int\limits_{-\infty}^\infty \Delta^2 \Phi(\Delta)d\Delta</math>

Ugyanazon okok miatt, mint a Chapman-Kolmogorov egyenlet levezetésénél, az egyenlet bal oldalának első tagja és jobb oldalának első tagja kiejti egymást, így a következő marad:

<math>\frac {\partial p}{\partial t}\tau = - \frac {\partial p}{\partial x}\int\limits_{-\infty}^\infty \Delta \Phi(\Delta)d\Delta + \frac {1}{2} \frac {\partial^2 p(x,t)}{\partial x^2}\int\limits_{-\infty}^\infty \Delta^2 \Phi(\Delta)d\Delta</math>

A fenti egyenlet jobb oldalán az első tagnál az integrál pont <math>\overline{\Delta}</math> értékét adja meg, míg a második tag integrálját ennek mintájára elneveztük <math>\overline{\Delta^2}</math>-nek. Az egyenlet a következőképp módosul:

<math>\frac {\partial p}{\partial t}\tau = - \frac {\partial p}{\partial x}\overline{\Delta} + \frac {1}{2} \frac {\partial^2 p(x,t)}{\partial x^2}\overline{\Delta^2}</math>

Ám <math>\overline{\Delta}</math> értéke nulla, mivel a <math>\Phi(\Delta)</math> függvényt teljesen szimmetrikusnak tételeztük fel. Tehát a bal oldal első tagja is kiesik. Ami marad:

<math>\frac{\partial p}{\partial t} = \frac{\overline{\Delta^2}}{2\tau} \frac{\partial^2 p(x,t)}{\partial x^2}</math>

<math>\frac{\overline{\Delta^2}}{2\tau}</math>-et D-nek (azaz diffúziós együtthatónak) elnevezve megkapjuk a '''diffúziós egyenlet''' általános alakját, mely:

:{|border="1"
|<math>\frac{\partial p}{\partial t} = D\frac {\partial^2 p}{\partial x^2}</math>||Dinamikai egyenlet a valószínűség időbeni változására (más néven a Fokker-Planck egyenlet).
|-
|}

'''A Fokker-Planck egyenlet megoldásának keresése'''

A következőkben a Fokker-Planck egyenlet megoldását kerestük a t = 0, x = 0 kezdőfeltételekhez.

Ekkor ha <math>p(x,t = 0) = \delta(x)</math> akkor ebből a megoldás:

<math>p(x,t) = \frac{1}{\sqrt{4\pi Dt}}e^{-\frac{x^2}{4Dt}}</math> (3D-ben az 1/gyök-ös rész a 3/2-en van.)

A fentiek alapján <math><x^2></math> értékére az alábbi összefüggés születik, ahol <math>\lambda</math>-t konstansnak várjuk:

<math><x^2> = \lambda Dt = \int\limits_{-\infty}^\infty \frac{1}{\sqrt{4\pi Dt}}x^2e^{-\frac{x^2}{4Dt}}dx</math>=<math>\frac{4Dt}{\sqrt{\pi}}{\int\limits_{-\infty}^\infty y^2 e^{-y^2}dy}</math>

az utolsó egyelőségnél változó helyettesítés történt: <math>y = \frac{x}{\sqrt{4Dt}}</math>

Az integrál értéke [http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_integrals_of_exponential_functions#Definite_integrals innen]<math>\frac{\sqrt{\pi}}{2}</math> így:
<math><x^2> = 2Dt</math> (azaz <math>\lambda = 2</math>)

'''Sodródás, Brown-mozgás potenciálban:'''

A részecskék ebben az esetben valamilyen kitüntetett irányba sodródnak: <math>\Phi(\Delta) \neq \Phi(-\Delta)</math>

Az előzőekhez képest annyi a különbség, hogy a következő tag:

<math>\int\limits_{-\infty}^\infty \Delta \Phi (\Delta) d\Delta = \overline{\Delta} \neq 0</math>

Ismét alkalmazva a Kramers-Moyal sorfejtést:

<math>p(x,t) + \frac{\partial p}{\partial t}\tau = p(x,t) - \frac{\partial p}{\partial x} \int\limits_{-\infty}^\infty \Delta \Phi(\Delta)d\Delta + \frac{1}{2}\frac{\partial^2 p}{\partial x^2} \int\limits_{-\infty}^\infty \Delta^2 \Phi(\Delta)d\Delta</math>

<math>\frac{\partial p}{\partial t} = -\frac{\overline{\Delta}}{\tau}\frac{\partial p}{\partial x} + \frac{1}{2}\frac{\overline{\Delta^2}}{\tau}\frac{\partial^2 p}{\partial x^2}</math>

(<math>\overline{\Delta}, \overline{\Delta^2}:</math> mikroszkopikus hossz, <math>\tau:</math> mikroszkopikus idő.)

Ez is a Fokker-Planck egyenlet egy alakja. A fenti egyenlet jobb oldalán az első tag önmagában egy driftet ír le:
<math>\frac{\partial p}{\partial t} = -v\frac{\partial p}{\partial x}</math>, ahol <math>v = \frac{\overline{\Delta}}{\tau}</math>

[[Kép:drift.png|center|thumb|Driftelő "csomag"]]

Például: <math>p(x,t) = \tilde{p}(x-vt)</math>. A fenti egyenletbe behelyettesítve és elvégezve: <math>-v\tilde{p}^{,} = -v\tilde{p}^{,}</math>

Viszont érdemes megtartani a második tagot, hiszen ha ezt is figyelembe vesszük, akkor azt kapjuk, hogy a "csomag" halad valamerre és közben szétterjed:

<math>\frac{\partial p}{\partial t} = -v \frac{\partial p}{\partial x} + D\frac{\partial^2 p}{\partial x^2}</math>

Bevezetve az y := x-vt -t (vagyis "beleülünk" a driftelő rendszerbe), akkor <math>\tilde{p}(x-vt,t) = \tilde{p}(y,t) = p(x,t)</math>. Ekkor a Fokker-Planck egyenlet a következőképp múdosul:

<math>-v\frac{\partial\tilde{p}}{\partial y}+\frac{\partial\tilde{p}}{\partial t}=-v\frac{\partial\tilde{p}}{\partial y}+D\frac{\partial^{2}\tilde{p}}{\partial y}</math> Vagyis visszakapjuk a drift nélküli összefüggést: <math>\frac{\partial\tilde{p}}{\partial t}=D\frac{\partial^{2}\tilde{p}}{\partial y}</math>

Tehát: <math>\tilde{p}(y,t)=\frac{1}{\sqrt{4\pi Dt}}e^{-\frac{y^{2}}{4Dt}}\quad\longrightarrow\quad p(x,t)=\frac{1}{\sqrt{4\pi Dt}}e^{-\frac{(x-vt)^{2}}{4Dt}}</math>

[[Kép:drift2.png|center|thumb|Driftelő és szétterjedő "csomag"]]

===Langevin-egyenlet===

Brown-mozgásra az általános Langevin-egyenlet: <math>m\ddot{x}=-6\pi\tilde{\eta}\dot{x}a+X-\frac{\partial U}{\partial x}</math>, ahol

* <math>\tilde{\eta}</math> - a viszkozitás

* a - a részecske sugara

* X - egy véletlenszerű erő

* <math>\frac{\partial U}{\partial x}</math> - egy külső erő (potenciál)

Ha ''túlcsillapított'' esetet vizsgálunk, akkor <math>0=-6\pi\tilde{\eta}\dot{x}a+X-\frac{\partial U}{\partial x}</math>

Ekkor bevezetve a zajt - <math>\eta=\mu X</math> - fogalmát és a <math>\mu=\frac{1}{6\pi\tilde{\eta}a}</math> jelölést, az egyenlet a következőképp fog kinézni:

<math>\dot{x}=-\mu\frac{\partial U}{\partial x}+\eta</math>

Bevezetve még a <math>v(x)=-\mu\frac{\partial U}{\partial x}</math> jelölést:

<math>\dot{x}=v(x)+\eta\qquad</math> lesz a végleges forma.

Ebből jól látni, hogy túlcsillapított esetben az elmozdulás a <math>v(x)</math> determinisztikus sebesség és az <math>\eta</math> zaj összege.

Ha feltételezzük, hogy a zaj Gauss-eloszlású, és meghatározzuk az adott helyen tartózkodás valószínűségét, akkor megkapjuk a “driftet tartalmazó” Fokker-Planck egyenletet (lsd. feljebb)

<math>\frac{\partial p}{\partial t}=-v\frac{\partial p}{\partial x}+D\frac{\partial^{2}p}{\partial x^{2}}</math>

Bevezetve a valószínűségi áramot: <math>J=vp-D\frac{\partial p}{\partial x}</math>, egyensúlyi esetben (J=0) megkapjuk a Boltzmann-eloszlást:

<math>P_{e}=Ce^{-\beta U}\qquad(\beta=\frac{1}{k_{B}T})</math>

==Vezetési jelenségek==
===Drude modell===
Az elektromos vezetés jelenségét úgy tekintjük, hogy az elektronok az elektromos tér hatására gyorsulnak, azonban a vezető helyezkötött atomtörzseinek ütközve energiát veszítenek. Ez igen hamar makroszkópikus egyensúlyhoz vezet, ha a tér nem változik. Ezek a feltevések az alapjai a Drude-modellnek, amelynek eredménye az elektronokra felírható mozgásegyenlet:

:<math>m \ddot{x} = eE - m \frac{1}{\tau}v</math>

amelynek stacionárius megoldása:

:<math>m \frac{1}{\tau}v = eE </math>

Itt <math>\tau</math> az ütközések között eltellő jellemző relaxációs idő, ''v'' a drift sebesség. A ''v''-re rendezett eredményt a töltéssel (e) és az elektronsűrűséggel (n) beszorozva megkaphatjuk az Ohm-törvényt:

:<math>j = \frac{n e^2 \tau}{m}E</math>

azaz az elektromros áramsűrűség egyenesen arányos a térerősséggel, az arányossági tényező a fajlagos ellenállás reciproka, azaz a fajlagos vezetőképesség. A Drude-moell jó leírást ad több effektusra, azonban például az áram hőhatását túlbecsli. Kevés jó modell van az elektronok ütközésének leírására, ez a terület ma is aktív kutatás tárgya.

===Kereszteffektusok===
(* A levezetés csak a kitekintés kedvéért szerepel)

A kereszteffektusok bevezetéséhez a nemegyensúlyi statisztikus fizika eszköztárához kell fordulnunk. Ebben a tárgyalásban most a vezetési jelenségekre korlátozódva jellemezze a vizsgált rendszerünket az f betöltési függvény, amely a pozíció, idő, és a hullámvektor függvénye. Írjuk fel a teljes idő differenciát, amely a Liouville-tétel értelmében zérus:

:<math>0 = \frac{df}{dt} = \frac{\partial f}{\partial t} + \frac{\partial f}{\partial \mathbf{r}}\mathbf{\dot{r}} + \frac{\partial f}{\partial \mathbf{k}}\mathbf{\dot{k}} - X</math>

itt X az ütközések miatti változást jelöli. A felírt egyenlet lényegébena Boltzmann-egyenlet, csak impulzus helyett hullámszámra felírva. A következő feltevéseket tehetjük:

*Egyensúlyban a betöltést a Fermi-Dirac statisztika írja le:
:<math>f_0(r, k) = \frac{1}{ e^{ \beta (E(k) - E_F)} + 1}</math>

vigyázat, <math>\beta</math>-ban T függhet a helytől is.

*A perturbációk időfüggését elhanyagoljuk, azaz f időderiváltja zérus.

*A rendszerben hullámcsomagokat akarunk leírni. Jó leírást kapunk, ha a sebességre a csoportsebességet vezetjük be:
:<math>\mathbf{\dot{r}} = \mathbf{v} = \frac{1}{\hbar} \frac{\partial E}{\partial \mathbf{k}}</math>

*Az impulzusmegváltozással analóg tagra írjuk be a klasszikus elektromágneses erőhatást:
:<math>\mathbf{\dot{k}} = \frac{e}{\hbar} \left( \mathbf{E} + \frac{1}{c} \mathbf{v} \times \mathbf{H} \right) </math>

*Az ütközési tagra tegyük azt a durva közelítést, hogy az egyensúlytól való eltéréssel egyenesen, és a relaxációs idővel fordítottan arányos:
:<math>X = -\frac{f - f_0}{\tau(\mathbf{k}) }</math>

*Az eloszlásfüggvény helyszerinti gradiense a hőmérséklet függésen keresztül is kifejezhető:
:<math>\frac{ \partial f }{ \partial \mathbf{r} } = \frac{ \partial f }{ \partial T }\frac{ \partial T }{ \partial \mathbf{r} }</math>

A fentiek ismeretében a Boltzmann-egyenlet a következő alakra kerül:

:<math>\mathbf{v} \frac{ \partial f }{ \partial T }\frac{ \partial T }{ \partial \mathbf{r} } + \frac{e}{\hbar} \left( \mathbf{E} + \frac{1}{c} \mathbf{v} \times \mathbf{H} \right) \frac{ \partial f}{\partial \mathbf{k}} = -\frac{f - f_0}{\tau(\mathbf{k}) } </math>

A deriválásokat egy '''D''' differenciál-operátorba összevonva az egyenlet:
:<math>\mathbf{D} f = -\frac{f - f_0}{ \tau (\mathbf{k})}</math>

Ennek a megoldása felírható soralakban, így különböző rendű korrekciók nyerhetőek:

:<math>f = f_0 -\tau \mathbf{D} f_0 + (\tau \mathbf{D})^2 f_0 ...</math>

Ezt visszahelyettesítve elsőrendben a következő megoldást kapjuk:

:<math>f = f_0 + \frac{\partial f_0}{\partial E} \tau \mathbf{v} \left[ \left( \frac{E - E_F}{T} + \frac{\partial E_F}{\partial T} \right) \frac{\partial T}{\partial \mathbf{r}} - eE \right]</math>

A legszembetűnőbb eredmény, hogy a mágneses tér kiesett, azaz csak a magasabb rendű korrekciók függnek tőle. Ha bevezetjük az elektromos áramsűrűséget, és a hőáramsűrűséget:

:<math>j_e = \frac{e}{4\pi^3} \int_{Bz} \mathbf{v} f d^3\mathbf{k}</math>
:<math>j_Q = \frac{1}{4\pi^3} \int_{Bz} (E - E_F)\mathbf{v} f d^3\mathbf{k}</math>

és bevezetve egy egyesített potenciált: <math>\mu = E_F + e\Phi</math>, megkaphatjuk az áramokra vonatkozó egyenleteket:

:<math>j_e = L^{11} \frac{\partial \mu}{\partial \mathbf{r}} + L^{12} \frac{1}{T}\frac{\partial T}{\partial \mathbf{r}}</math>
:<math>j_Q = L^{21} \frac{\partial \mu}{\partial \mathbf{r}} + L^{22} \frac{1}{T}\frac{\partial T}{\partial \mathbf{r}}</math>

Az '''L''' együtthatók másodrendű tenzorok, itt most annyi elég róluk, hogy:
*<math>L^{12} = L^{21}</math>, ez az Onsager-reláció a termodinamikában,
*Mindegyikük tartalmazza az egyensúlyi eloszlás energia szerinti deriváltját, és <math>\tau</math>-t,
*Az <math>L^{11}</math> tenzor ezen felül az elektromos töltést,
*<math>L^{12}, L^{21}</math> tartalmazza <math>E-E_F</math>-et,
*<math>L^{22}</math> pedig <math>(E-E_F)^2</math>-et.

Ezek segítségével kifejezhetőek a következők:
*Homogén anyagban, homogén hőmérsékleteloszlás esetén visszakapjuk az Ohm-törvényt:
:<math>j_e = \sigma E, \; \; \sigma = -eL^{11}</math>

*Homogén anyagban, ha nincs elektromos áram visszakapjuk a hővezetés egyenletét:
:<math>j_Q = -\kappa \frac{\partial T}{\partial \mathbf{r} }, \; \; \kappa = \frac{1}{T}\left( L^{22}-L^{12}(L^{11})^{-1} L^{12}\right)</math>

és az elektrokémiai potenciál, valamint a hőmérsékletgradiens kapcsolatát:
:<math>-\frac{\mu_e}{\mathbf{r}} = S \frac{\partial T}{\partial \mathbf{r}}, \; \; S = \frac{1}{T}(L^{11})^{-1} L^{12}</math>

Ezek kombinálásával lehet értelmezni a további effektusokat (ekkor már elhagyható a fenti megkötések egy része):

*Seebeck-effektus: a hőmérsékletkülönbség elektromos áramot hoz létre.
*Peltier-effektus: két fém határfelületén átfolyó áram hőmérsékletkülönbséget hoz létre a két fémen.
*Thomson-effektus: áram alatt levő vezető, amelyen hőmérsékletkülönbség van, lehűl, vagy felmelegszik.

Ezen effektusok arányossági tényezői között fennáll a következő két Thomson-összefüggés:

:<math>\Pi = T \cdot S</math>
:<math>\mu = T \frac{dS}{dT}</math>

ahol ''T'' a hőmérséklet, <math>\Pi</math> a Peltier-együttható, ''S'' a Seebeck-együttható és <math>\mu</math> a Thomson-együttható.

Az eloszlásfüggvény további korrekcióinak figyelembevételével megkaphatjuk a másodrendű effektusokat, akkor már a mágneses hatás is beleszól a folyamatokba. Ezek közül a legjelentősebb a Hall-effektus. Itt elektromos áram, és rá merőleges mágneses tér hatására az előző kettőre merőleges elektromos potenciálkülönbség alakul ki a vezetőben.

{{Záróvizsga}}

Doppler effektus

2011-06-26T16:44:58Z

Bertalan: Új oldal, tartalma: „mozgó forrás: :<math>f=f_0\frac{c}{c-v}</math> mozgó észlelő: :<math>f=f_0\frac{c + v}{c}</math> Bővebben: [[Folytonos közegek mechanikája#Hullámterjedés defor…”

mozgó forrás:
:<math>f=f_0\frac{c}{c-v}</math>

mozgó észlelő:
:<math>f=f_0\frac{c + v}{c}</math>

Bővebben: [[Folytonos közegek mechanikája#Hullámterjedés deformálható testekben, Doppler-effektus.]]

Hullám egyenlet

2011-06-26T16:38:23Z

Bertalan: Új oldal, tartalma: „:<math>\frac{\partial^2 \phi(\mathbf{r},t)}{\partial t^2} = c^2 \triangle \phi</math> Bővebben: [[Hullámegyenlet és hullámoptika#Az elektromágneses hullámegyenlet…”

:<math>\frac{\partial^2 \phi(\mathbf{r},t)}{\partial t^2} = c^2 \triangle \phi</math>

Bővebben: [[Hullámegyenlet és hullámoptika#Az elektromágneses hullámegyenletek]]

Ideális gáz, Van der Waals gáz állapotegyenlete

2011-06-26T16:33:20Z

Bertalan: Új oldal, tartalma: „:<math>\qquad\qquad p V = n R T</math> Bővebben: Egyesített gáztörvény :<math>\left( p + \frac{n^2 a}{V^2}\right)\left(V-nb \right) = nRT</math> Bővebben: [[…”

:<math>\qquad\qquad p V = n R T</math>

Bővebben: [[Egyesített gáztörvény]]

:<math>\left( p + \frac{n^2 a}{V^2}\right)\left(V-nb \right) = nRT</math>

Bővebben: [[Fenomenologikus termodinamika#Van der Waals gázok]]

Coulomb törvény

2011-06-26T16:29:19Z

Bertalan: Új oldal, tartalma: „:<math>\mathbf{F} = \frac{1}{4 \pi \cdot \epsilon_0} \cdot \frac{Q_1 \cdot Q_2}{|\mathbf{r}|^3} \cdot \mathbf{r}</math>. Bővebben: [[Elektro- és magnetosztatika, ár…”

:<math>\mathbf{F} = \frac{1}{4 \pi \cdot \epsilon_0} \cdot \frac{Q_1 \cdot Q_2}{|\mathbf{r}|^3} \cdot \mathbf{r}</math>.

Bővebben: [[Elektro- és magnetosztatika, áramkörök#Coulomb- és Gauss-törvény, szuperpozíció elve, stacionárius áram]]

Szerkesztő:Bertalan

2011-06-26T16:23:28Z

Bertalan: Új oldal, tartalma: „A '''Bertalan''' <ref name="anya">A Nyelvtudományi Intézet által anyakönyvezhetőnek minősített név</ref> férfinév az arámi – [[görög nyelv|…”

A '''Bertalan''' <ref name="anya">A Nyelvtudományi Intézet által anyakönyvezhetőnek minősített név</ref> férfinév az [[arámi nyelv|arámi]] – [[görög nyelv|görög]] ''Bartholomaiosz'' férfinév [[latin nyelv|latinos]] ''Bartholomeus'' formájú rövidüléséből származik. Jelentése: ''Ptolemaiosz fia.''<ref name="ladó">Ladó-Bíró, 39. old.</ref>

<hr>
<references/>

Gibbs-Duhem reláció

2011-06-26T12:33:27Z

Bertalan: Új oldal, tartalma: „ :<math> \sum_{i=1}^I N_i\,\mathrm{d}\mu_i = - S\,\mathrm{d}T + V\,\mathrm{d}p \,</math> Bővebben: []”

:<math> \sum_{i=1}^I N_i\,\mathrm{d}\mu_i = - S\,\mathrm{d}T + V\,\mathrm{d}p \,</math>

Bővebben: []

Master egyenlet

2011-06-26T12:30:20Z

Bertalan: Új oldal, tartalma: „ :<math>\frac{\partial p_n}{\partial t} = -\sum_{n^{,}}w_{n^{,}n}p_n(t) + \sum_{n^{,}}w_{nn^{,}}p_{n^{,}}(t)</math> Bővebben: Master-egyenletek”

:<math>\frac{\partial p_n}{\partial t} = -\sum_{n^{,}}w_{n^{,}n}p_n(t) + \sum_{n^{,}}w_{nn^{,}}p_{n^{,}}(t)</math>

Bővebben: [[Master-egyenletek]]

Snellius-Descartes törvény

2011-06-26T12:26:56Z

Bertalan: Új oldal, tartalma: „:<math>\frac{\operatorname{sin} \theta_1}{\operatorname{sin} \theta_2} = \frac{n_2}{n_1}</math> Bővebben: []”

:<math>\frac{\operatorname{sin} \theta_1}{\operatorname{sin} \theta_2} = \frac{n_2}{n_1}</math>

Bővebben: []

Langevin egyenlet

2011-06-26T12:21:49Z

Bertalan: Új oldal, tartalma: „ :<math>m\ddot{x}=-6\pi\tilde{\eta}\dot{x}a+X-\frac{\partial U}{\partial x}</math> Bővebben: Nemegyensúlyi folyamatok leírása#Ingadozási jelenségek”

:<math>m\ddot{x}=-6\pi\tilde{\eta}\dot{x}a+X-\frac{\partial U}{\partial x}</math>

Bővebben: [[Nemegyensúlyi folyamatok leírása#Ingadozási jelenségek]]

Bragg egyenlet

2011-06-26T12:20:21Z

Bertalan: Új oldal, tartalma: „:<math>2d\,\sin\vartheta=n\lambda</math> Bővebben: [[Kristályos anyagok fizikája#Röntgen- és elektrondiffrakció. Diffrakció, kinetikus elmélet. Ewald-szerkeszté…”

:<math>2d\,\sin\vartheta=n\lambda</math>

Bővebben: [[Kristályos anyagok fizikája#Röntgen- és elektrondiffrakció. Diffrakció, kinetikus elmélet. Ewald-szerkesztés. Bragg-feltétel.]]

Curie-Weiss törvény

2011-06-26T12:16:34Z

Bertalan: Új oldal, tartalma: „ :<math> \chi = \frac{C}{T - T_{c}} </math> Bővebben: Kölcsönható rendszerek, mágneses anyagok#Curie--Weiss-törvény”

:<math>
\chi = \frac{C}{T - T_{c}}
</math>

Bővebben: [[Kölcsönható rendszerek, mágneses anyagok#Curie--Weiss-törvény]]

Schrödinger egyenlet

2011-06-26T12:13:45Z

Bertalan: Új oldal, tartalma: „általában :<math>\hat{H}\Psi=i\hbar\frac{\partial}{\partial t} \Psi</math> spec eset: nem függ az időtől :<math>\hat{H}\Psi=E \Psi</math> Bővebben: [[A kvantumm…”

általában
:<math>\hat{H}\Psi=i\hbar\frac{\partial}{\partial t} \Psi</math>

spec eset: nem függ az időtől
:<math>\hat{H}\Psi=E \Psi</math>

Bővebben: [[A kvantummechanika elméleti háttere#A Schrödinger-egyenlet]]

Határozatlansági reláció

2011-06-26T12:05:41Z

Bertalan: Új oldal, tartalma: „:<math>\sigma_A\sigma_B \ge \frac{\hbar}{2} </math> ha :<math>[A,B] \ne 0 \;</math> Bővebben:A kvantummechanika elméleti háttere#Határozatlansági-elv”

:<math>\sigma_A\sigma_B \ge \frac{\hbar}{2} </math>

ha

:<math>[A,B] \ne 0 \;</math>

Bővebben:[[A kvantummechanika elméleti háttere#Határozatlansági-elv]]

Képlettár

2011-06-26T11:57:10Z

Bertalan:

*[[Newton II]]
*[[Gravitációs törvény]]
*[[Erők gyorsuló koordináta rendszerben]]
*t és x [[Lorentz transzformáció]]ja
*[[Tömeghéj feltétel]]
*[[Kanonikus egyenletek]]
*[[Harmonikus oszcillátor energiája, Hamilton operátora]]
*[[Léptető operátorok]]
*[[Doppler effektus]]
*[[Archimedes törvénye]]
*[[Bernoulli egyenlet]]
*[[Euler egyenlet]]
*[[Navier-Stokes]]
*[[Termodinamika főtételei]]
*[[Ideális gáz, Van der Waals gáz állapotegyenlete]]
*[[Fundamentális egyenlet]]
*[[Euler összefüggés]]
*[[Gibbs-Duhem reláció]]
*[[Maxwell-egyenletek]] (integrális, differenciális)
*[[Ponttöltés, dipól potenciálja]]
*[[Coulomb törvény]]
*[[D-E összefüggése]]
*[[B-H összefüggése]]
*[[Biot-Savart törvény]]
*[[Lorentz-erő]]
*[[Kontinuitási egyenlet]] (j-re, m-re)
*[[Hullám egyenlet]]
*[[Snellius-Descartes törvény]]
*[[Eikonál egyenlet]]
*[[Leképezési törvény]]
*[[Schrödinger egyenlet]] (időfüggő, időfüggetlen)
*[[Határozatlansági reláció]]k
*[[Pauli egyenlet]]
*[[Félempirikus kötési formula]]
*[[Curie-Weiss törvény]]
*[[Bragg egyenlet]]
*[[Diffúziós egyenlet]]
*[[Langevin egyenlet]]
*[[Master egyenlet]]
*[[Friedmann egyenletek]]

Termodinamika főtételei

2011-06-26T11:51:10Z

Bertalan: Új oldal, tartalma: „*<math>A=B,\;\;B=C\;\rightarrow\;A=C</math> *<math>\mathrm{d}U=\delta Q+ \delta W \,</math> *<math>\delta S \geq 0\,</math> *<math>c_v(T \rightarrow 0)\rightarrow 0\…”

*<math>A=B,\;\;B=C\;\rightarrow\;A=C</math>

*<math>\mathrm{d}U=\delta Q+ \delta W \,</math>

*<math>\delta S \geq 0\,</math>

*<math>c_v(T \rightarrow 0)\rightarrow 0\,</math>

Bővebben: [[Fenomenologikus termodinamika#Főtételek]]

Bernoulli egyenlet

2011-06-26T11:41:32Z

Bertalan: Új oldal, tartalma: „ :<math>p+\rho gh+\frac{1}{2}\rho v^{2}=C</math> Bővebben: Folytonos közegek mechanikája#Áramlások”

:<math>p+\rho gh+\frac{1}{2}\rho v^{2}=C</math>

Bővebben: [[Folytonos közegek mechanikája#Áramlások]]

Lorentz-erő

2011-06-26T11:37:42Z

Bertalan: Új oldal, tartalma: „ <math>\mathbf{F}=q[\mathbf{E}+(\mathbf{v}\times\mathbf{B})]</math> Bővebben: []”

<math>\mathbf{F}=q[\mathbf{E}+(\mathbf{v}\times\mathbf{B})]</math>

Bővebben: []

Képlettár

2011-06-26T11:31:25Z

Bertalan:

*[[Newton II]]
*[[Gravitációs törvény]]
*[[Erők gyorsuló koordináta rendszerben]]
*t és x [[Lorentz transzformáció]]ja
*[[Tömeghéj feltétel]]
*[[Kanonikus egyenletek]]
*[[Harmonikus oszcillátor energiája, Hamilton operátora]]
*[[Léptető operátorok]]
*[[Doppler effektus]]
*[[Archimedes törvénye]]
*[[Bernoulli egyenlet]]
*[[Euler egyenlet]]
*[[Navier-Stokes]]
*[[Termodinamika főtételei]]
*[[Ideális gáz, Van der Waals gáz állapotegyenlete]]
*[[Fundamentális egyenlet]]
*[[Euler összefüggés]]
*[[Gibbs-Duhem reláció]]
*[[Maxwell-egyenletek]] (integrális, differenciális)
*[[Ponttöltés, dipól potenciálja]]
*[[Coulomb törvény]]
*[[D-E összefüggése]]
*[[B-H összefüggése]]
*[[Biot-Savart törvény]]
*[[Lorentz-erő]]
*[[Kontinuitási egyenlet]] (j-re, m-re)
*[[Hullám egyenlet]]
*[[Snellius-Descartes törvény]]
*[[Eikonál egyenlet]]
*[[Leképezési törvény]]
*[[Schrödinger egyenlet]] (időfüggő, időfüggetlen)
*[[Határozatlansági relációk]]
*[[Pauli egyenlet]]
*[[Félempirikus kötési formula]]
*[[Curie-Weiss törvény]]
*[[Bragg egyenlet]]
*[[Diffúziós egyenlet]]
*[[Langevin egyenlet]]
*[[Master egyenlet]]
*[[Friedmann egyenletek]]

Navier-Stokes

2011-06-26T11:29:22Z

Bertalan:

:<math>\rho \left(\frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} + \mathbf{v} \cdot \nabla \mathbf{v}\right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \mathbf{v} + \mathbf{f}.</math>

Bővebben: [[Folytonos közegek mechanikája#Áramlások]]

Navier-Stokes

2011-06-26T11:28:45Z

Bertalan: Új oldal, tartalma: „:<math>\rho \left(\frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} + \mathbf{v} \cdot \nabla \mathbf{v}\right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \mathbf{v} + \mathbf{f}.</math> Bővebbe…”

:<math>\rho \left(\frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} + \mathbf{v} \cdot \nabla \mathbf{v}\right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \mathbf{v} + \mathbf{f}.</math>

Bővebben: [[]]

Biot-Savart törvény

2011-06-26T10:50:01Z

Bertalan: Új oldal, tartalma: „ :<math>\mathbf{B}=\frac{\mu_0}{4\pi} \int \frac{\mathbf{j}(r^{\prime}) \times (r-r^{\prime})}{|r-r^{\prime}|^3}d^3r^{\prime}</math> Bővebben: [[Elektro- és magnet…”

:<math>\mathbf{B}=\frac{\mu_0}{4\pi} \int \frac{\mathbf{j}(r^{\prime}) \times (r-r^{\prime})}{|r-r^{\prime}|^3}d^3r^{\prime}</math>

Bővebben: [[Elektro- és magnetosztatika, áramkörök#Stacionárius áram, áramköri törvények: Kirchhoff-törvények, Ohm-törvény]]

Elektro- és magnetosztatika, áramkörök

2011-06-26T10:48:35Z

Bertalan: /* Mágneses hatások */

==Coulomb- és Gauss-törvény, szuperpozíció elve, stacionárius áram==

===ELektrosztatika===

'''Sztatika''' esetén nincsen időbeli változás, tehát a [[Maxwell-egyenletek]]ben <ref>Teljes Maxwell-egyenletek: [[Elektrodinamika|itt]]</ref> szereplő, időderiváltakat tartalmazó targok 0-t adnak járulákul. Így a sztatikus Maxwell-egyenletek [[SI]]-ben:

:<math>\operatorname{div}\mathbf{E}=\frac{\varrho}{\varepsilon_{0}}</math>

:<math>\operatorname{rot}\mathbf{E}=0</math>

:<math>\operatorname{rot}\mathbf{B}=\frac{\mathbf{j}}{\varepsilon_{0}c^{2}}</math>

:<math>\operatorname{div}\mathbf{B}=0</math>

ahol <math>\mathbf{E}</math> az elektromos térerősség, <math>\mathbf{B}</math> a mágneses indukció, <math>\mathbf{j}</math> az áramsűrűség, <math>\varrho</math> az elektromos töltéssűrűség, <math>\varepsilon_{0}</math> a vákuum dielektromos állandója.

====Gauss-törvény====

[[Gauss]]-törvénynek az első [[Maxwell]]-egyenletet nevezzük. Az [[elektromos töltés]]ek, vagy [[töltéseloszlás]], és az [[elektromos tér]] kapcsolatát adja meg. Integrális formában azt mondja ki, hogy ha egy <math>q</math> töltést körbeveszünk egy zárt felülettel, akkor arra integrálva az elektromos teret (<math>\mathbf{E}</math>), a töltéssel arányos mennyiséget kapunk:

:<math>
\oint_f \mathbf{E} d\mathbf{f} = \frac{1}{\varepsilon_0}q
</math>

Ahol <math>\varepsilon_0</math>, az arányossági tényező reciproka, a vákuum [[dielektromos állandó]]ja. Általánosabban felírhatjuk töltéseloszlásra is, aminek alesete több [[ponttöltés]]:

:<math>
\oint_f \mathbf{E} d\mathbf{f} = \frac{1}{\varepsilon_0} \int_V \varrho(\mathbf{r}) dV
</math>

Ezt nevezzük a '''Gauss-törvény integrális formájának'''. <math>\varrho(\mathbf{r})</math> a [[töltéssűrűség]], <math>V</math> pedig az <math>f</math> zárt felület által határolt térfogat. A matematikai Gauss-törvény értelmében egy vektortér divergenciájának térfogatra vett integrálja egyenlő a [[vektortér]] határfelületre vett integráljával, vagyis:

:<math>
\oint_f \mathbf{E} d\mathbf{f} = \int_V \operatorname{div} \mathbf{E} dV = \frac{1}{\varepsilon_0} \int_V \varrho(\mathbf{r}) dV
</math>

Mivel az egyenlet két oldalán ugyanarra a térfogyatra integrálunk, az integrandusok is egyenlőek:

:<math>
\operatorname{div} \mathbf{E} = \frac{\varrho(\mathbf{r})}{\varepsilon_0}
</math>

Ez a '''Gauss-törvény differenciális formája'''.

====Coulomb-törvény====

Elektrosztatikában minden időderivált eltűnik: <math>\frac{\partial}{\partial t} \equiv 0</math>. Így a [[Faraday]]-törvény (egy másik Maxwell-egyenlet) így alakul:

:<math>\operatorname{rot} \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} = 0</math>

[[Rotáció]]mentes vektorterek előállíthatóak egy skalárfüggvény [[gradiens]]eként, ezért vezessük be a <math>\Phi</math> skalárpotenciált, amelyre igaz:

:<math>
\mathbf{E} = - \operatorname{grad} \Phi
</math>

<math>\Phi</math> skalárpotenciál dimenziója [[energia]]/[[töltés]], így adott töltés esetén arányos a potenciális energiával, és egy <math>q</math> töltést mozgatva [[elektromos tér]]ben <math>A</math> pontból <math>B</math> pontba, megadja a végzett <math>W</math> [[munkát]]:

:<math>W = \int_A^B q \mathbf{E} d\mathbf{s} = - \int_A^B q \operatorname{grad} \Phi d\mathbf{s} = q \left(\Phi(A) - \Phi(B)\right)</math>

A [[gradiens]]es egyenletet beírva a [[divergencia|divergenciásba]], kapjuk a [[Poisson]]-egyenletet:

:<math>
\operatorname{div} \operatorname{grad} \Phi = \Delta \Phi = - \frac{\varrho(\mathbf{r})}{\varepsilon_0}
</math>

A levezetést mellőzve, [[Green-módszer]]rel megoldható az egyenlet, az általános megoldás pedig:

:<math>\Phi (\mathbf{r}) = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \int \frac{\varrho(\mathbf{r}')}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|} d^3\mathbf{r}'</math>

Ha az [[Origó]]ban van egyetlen, <math>q_1</math> töltésű ponttöltésünk, akkor <math>\varrho(\mathbf{r}) = q_1\delta(\mathbf{r})</math>. Erre könnyen el lehet végezni az integrált:

:<math>\Phi (\mathbf{r}) = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \int \frac{q_1\delta(\mathbf{r}')}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|} d^3\mathbf{r}'=\frac{q_1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{1}{r}</math>

Az ebbe a térbe helyezett <math>q_2</math> töltésre ható erő:

:<math>
\mathbf{F}_{21} = - \mathbf{F}_{12} = \mathbf{E}_1q_2 = -grad \Phi \cdot q_2 = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{q_1q_2}{\mathbf{r}_{12}^2} \cdot \frac{\mathbf{r}_{21}}{r_{21}}
</math>

Ezt nevezzük '''Coulomb-törvénynek'''.

A Maxwell-egyenletek [[linearitás]]a miatt egy adott pontban különböző töltések által keltett elektromos tér értéke megegyezik az egyéni töltések által létrehozott terek vektoriális összegével. Belátható, hogy ez egyenértékű azzal, hogy az egyes töltések által létrehozott skalárpotenciálok is összeadódnak. Ezt nevezzük a '''[[szuperpozíció]] elvének'''.

==Vezetők, szigetelők, dielektrikumok, kondenzátor, magnetosztatika==

===Vezetők<ref>Feynman - Mai Fizika 5: 57.9 Elektrosztatika</ref>===

Az elektromos vezetők - általában [[fémek]] - belsejében a [[delokalizált elektron]]ok áramlása hozza létre a vezetés jelenségét. Ezt okozhatja például külső elektromos erőtér. Az így létrehozott [[áram]]ot vagy mozgásban kell tartani egy külső energiaforrással, különben amint az elektronok kisütik a kezdeti teret létrehozó forrásokat, megállnak. Tehát az elektronok addig mozognak, amíg úgy nem rendeződnek, hogy a belső elektromos tér nulla legyen. Mivel a tér belül zérus, így annak [[divergencia|divergenciája]] is nulla, és a Gauss-törvény értelmében akkor a [[töltéssűrűség]]nek is 0-nak kell lennie. Tehát a töltéseknek a vezető [[felület]]én kell lenniük. Ez képszerűen is logikus: a töltések taszítják egymást, megpróbálnak elszaladni egymás elől, így előbb-utóbb mindenki a falhoz szorulva figyeli a másikat. Ez egy stabil helyzet, amikor nagyjából maximalizálták az egymás közötti távolságot.

Továbbá a vezető felülete [[ekvipotenciális felület]], a térerősségnek itt merőlegesnek kell lennie mindenhol. Ha lenne érintőleges tag, akkor az elektronok elmozdulnának a felület mentén. A [[töltéssűrűség]] arányos a felületnél lévő [[térerősség]] nagyságával:

:<math>\varepsilon_0 \mathbf{E} = \eta.</math>

Különböző sugarú vezető gömbök esetében:

:<math>\frac{E_1}{E_2} = \frac{R_2}{R_1}</math>

Azaz a [[térerősség]] fordítottan arányos a sugárral, nagyobb görbületű helyeken kisebb a térerősség, végtelen kis görbület esetén nagy a térerősség. Ezt nevezzük [[csúcshatás]]nak. Ez alapján működik a [[Segner-kerék]], vagy a villámhárító, a van de Graaff-generátornál is fontos.

A vezető belsejében a térerősség zérus. Igaz ez a vezető belsejében lévő (üres) üregre is. Ez a [[Faraday-kalitka]].

===Dielektrikumok<ref>Feynman - Mai Fizika 5: 62. Dielektrikumok</ref>===

Először [[Faraday]] bácsi fedezte fel, hogy [[közeg]]ekben az [[elektromos tér]] lecsökken. A csökkenés szorzófaktorát nevezte <math>\varepsilon_r</math> [[dielektromos állandó]]nak:

:<math>\varepsilon_r := \frac{E_0}{E} > 1</math>

Ahol <math>E_0</math> az a [[térerősség]], amit ugyanilyen [[töltéseloszlás]] ugyanitt vákuumban hozna létre (pontosabban itt az abszolút értékeket osztjuk egymással). Ennek magyarázata az anyag szerkezetében keresendő. Bizonyos fajta anyagok [[molekula|molekulái]] rendelkeznek saját <math>\textbf{p}</math> [[elektromos dipólmomentum]]mal.

A dipólmomentummal rendelkező molekulákból álló anyagokat nevezzük [[dielekktrikum]]nak. Elektromos tér hatására ezek a dipólok beállnak a térrel ellentétesen, leárnyékolva (csökkentve) ezzel a teret. Ez látható az alábbi ábrán is, egy egyszerű modellen. Itt a dipólok egy szabályos rácsba helyezve ülnek az anyagban.

[[Kép:dielektrikum.png|center|thumb|400px|Dielektrikum kondenzátorban]]

Vegyünk egy [[zárt felület]]et, amibe belelóg a [[dielektrikum]] vége. Erre felírva a [[Elektro- és magnetosztatika, áramkörök#Coulomb- és Gauss-törvény, szuperpozíció elve, stacionárius áram|Gauss-törvényt]] az [[elektromos tér]] integrálja néhol pozitív lesz (ha éppen kettévágunk egy dipólsort), néhol pedig nulla (ha adott számú semleges dipólt fogtunk körbe). Mivel a [[dipól]]ok igen kicsik, és közel vannak egymáshoz, ezt egy átlaggal közelíthetjük. Ha az <math>f</math> felületen <math>N</math> [[töltés]] van, és <math>\mathbf{P} = \frac{\sum \mathbf{p}}{V}</math>, akkor ez az átlag:

:<math>\bar{q} = \frac{Nq_1 \mathbf{l} + 0 \cdot (d-l)}{d} = \frac{Nq_1 \mathbf{l}}{d} = \frac{N \mathbf{p}}{df} \cdot f = - \int \mathbf{P} d\mathbf{f}</math>

Ez akkor igaz, ha a térfogat, amire integráltunk, tartalmazza a test [[határfelület]]ét, vagyis van egy effektív, úgynevezett [[polarizációs töltés]] a felületen.
A [[Elektro- és magnetosztatika, áramkörök#Coulomb- és Gauss-törvény, szuperpozíció elve, stacionárius áram|Gauss-törvényt]] módosítva kapjuk:

:<math>
\oint_f \mathbf{E} d\mathbf{f} = \frac{q}{\varepsilon_0} = \frac{1}{\varepsilon_0}\left( q_{valodi} + q_{polarizacios} \right) = \frac{1}{\varepsilon_0}q_{valodi} - \frac{1}{\varepsilon_0}\oint_f \mathbf{P} d\mathbf{f}
</math>

Ebből:

:<math>
\oint_f \left(\varepsilon_0 \mathbf{E} + \mathbf{P} \right) d\mathbf{f} = q_{valodi} \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} \oint_f \mathbf{D} d\mathbf{f}
</math>

Ahol <math>\mathbf{D}</math>-t nevezzük az '''[[elektromos eltolás vektor|elektromos eltolás vektorának]]'''.

[[Kísérlet]]i tapasztalatok alapján [[lineáris közeg]] esetén <math>\mathbf{E}</math> és <math>\mathbf{P}</math> között helyfüggetlen [[lineáris]] kapcsolat van:

:<math>\mathbf{P} = \varepsilon_0 \chi_e \mathbf{E}</math>

Ahol <math>\chi_e</math> az [[elektromos szuszceptibilitás]]. Általános esetben <math>\varepsilon_0</math> egy szimmetrikus [[tenzor]], de [[izotrop]] anyagokban [[skalár]] (vagy felfoghatjuk egy konstans és egy egységmátrix szorzatának). Az [[elektromos eltolás vektor]] így:

:<math>\mathbf{D} = \varepsilon_0 \mathbf{E} + \mathbf{P} = \varepsilon_0 \mathbf{E} + \varepsilon_0 \chi_e \mathbf{E} = \varepsilon_0 \left(1 + \chi_e \right) \mathbf{E}</math>

Ekkor definíció szerint:

:<math>\left(1 + \chi_e \right) = \varepsilon_r</math>

Ahol <math>\varepsilon_r</math> a '''[[dielektromos állandó|relatív dielektromos együttható]]'''. <math>\varepsilon_r</math> és <math>\varepsilon_0</math> szorzata <math>\varepsilon</math>, a '''[[dielektromos állandó|dielektromos együttható]]''' (vagy [[dielektromos állandó|elektromos permittivitás]]).

====Kondenzátor====

Az [[elektromos töltés]] tárolására készített technikai eszközöket kondenzátornak (régies nevén „sűrítő”-nek) nevezzük. Minden kondenzátor legalább két párhuzamos vezető anyagból (fegyverzet), és a közöttük lévő szigetelő anyagból ([[dielektrikum]]) áll. Az első kondenzátor a [[leydeni palack]] volt, amelyet [[Pieter van Musschenbroek]] készített 1746-ban a leydeni egyetemen.

A kondenzátor kapacitása: <math>C=\frac{Q}{U}=\frac{\varepsilon_{0}A}{d}\qquad</math>(ahol <math>A</math> a lemezek területe, <math>d</math> azok távolsága)

Kísérleti tapasztalat alapján, ha [[dielektrikum]]ot teszünk a kondenzátorba, akkor megnő a [[kapacitás]].

<math>C=\frac{\varepsilon_{0}\varepsilon_{r}A}{d}\qquad</math>, ahol <math>\varepsilon_{r}</math> a dielektrikum [[dielektromos állandó|relatív permittivitása]].

Mivel a [[töltés]]ek nem változnak, ezért a [[feszültség]]nek kell csökkennie. Viszont ez a [[potenciál]]különbség nem más, mint a fegyverzetek közötti térerősség [[vonalintegrál]]ja. Ebből az következik, hogy a kondenzátoron belül csökkennie kellett a térerősségnek.

[[Kép:01Dielektr.png|center|thumb|400px|Dielektrikum kondenzátorban]]

Itt ugyanúgy alkalmazhatjuk a [[Gauss-tétel]]t, és az ábrán látható (bekeretezett “[[dielektrikum]]”) felületre integrálunk, akkor a leutóbbi következtetésünk alapján arra jutunk, hogy kisebb lesz a [[töltéssűrűség]]. (Olyan, mintha két kis kondenzátort kötnénk sorba.) Ez csak akkor lehet, ha a szigetelő egyik felén pozitív, másik felén negatív töltés indukálódik. (Vezető esetén tényleg ezt is várnánk...)

Ez okozza a kondenzátor [[kapacitás]]ának megnövekedését.

[[Dipólmomentum]]mal nem rendelkező szigetelők molekulái is [[dipól]]okká válhatnak külső elektromos tér hatására. Egy elég jól használható magyarázat: az [[elektron]]okra és a [[proton]]okra más irányú [[erő]]k hatnak, így torzul a részecske, és az elektronok súlypontja nem esik egybe a protonéval egy részecskén belül. Így kialakul egy [[dipól]]us.

Fontos tudni, hogy a [[polarizáció]] '''NEM''' azonos a [[megosztás]] jelenvégével. Ez utóbbiban valódi töltések keletkeznek, és ''vándorolnak'' el a vezetőben, ezzel szemben a polarizációban csak atomi méretű ''töltésszétválás'' történik!

Számos anyag van, amelyre a fenti [[lineáris]] összefüggés nem igaz, a legérdekesebbek talán az [[elektrétek]], amelyek állandó elektromos teret tartanak fenn, hasonlóan az állandó mágnesek mágneses teréhez.

====Határfeltételek====

Kérdésként merülhet fel, hogy különböző relatív dielektromos állandójú [[dielektrikum]]ok ''határán'' <math>\mathbf{E}</math> és <math>\mathbf{D}</math> hogyan viselkedik.

Az [[Maxwell-egyenletek]] integrális alakjából következik, hogy sztatika esetén:

:<math>\operatorname{rot} \mathbf{E} = 0 \Rightarrow \oint \mathbf{E} d \mathbf{s} = 0</math>

:<math>\operatorname{div} \mathbf{E} = 0 \Rightarrow \oint \mathbf{D} d \mathbf{f} = 0</math>

Ezeket kell kielégíteni a '''határfeltételeken''' is. Felhasználva, hogy <math>\mathbf{D} = \varepsilon \mathbf{E}</math> megkaphatjuk a többi komponens transzformációját.

'''<math>\mathbf{E}</math> [[tangenciális]] komponense folytonosan megy át a határon.''' Az 1 és 2 közeget elválasztó határfelületen vegyünk fel egy kis (<math>\zeta</math> oldalú) [[négyzet]]et, a négyzet határfelületre [[merőleges]] oldalával tartsunk nullához. Ekkor az első összefüggésből következik, hogy:

:<math>\oint \mathbf{E} d\mathbf{s} = \mathbf{E}_1^t \zeta - \mathbf{E}_2^t \zeta = 0</math>

Azaz két különböző közeg határfelületén az <math>\mathbf{E}</math> elektromos térerősség [[érintő]] irányú komponense folytonosan halad át, a határfelület átlépése során változatlan marad:

:<math>\mathbf{E}_1^t = \mathbf{E}_2^t</math>

A <math>\mathbf{D} = \varepsilon \mathbf{E}</math> összefüggésből adódik, hogy <math>\mathbf{D}</math> tangenciális komponensének ugrása van a határon:

:<math>\frac{\mathbf{D}_1^t}{\mathbf{D}_2^t} = \frac{\varepsilon_1}{\varepsilon_2}</math>

'''<math>\mathbf{D}</math> normál komponense folytonosan megy át a határon.''' Az 1 és 2 közeget elválasztó határfelületen vegyünk fel egy kis (<math>f</math> felületű) kockát, a kocka határfelületre merőleges oldalaival tartsunk nullához. Ekkor a második összefüggésből következik, hogy:

:<math>\oint \mathbf{D} d\mathbf{f} = \mathbf{D}_1^n f - \mathbf{D}_2^n f = 0</math>

Tehát az eltolásvektor normál komponense a két közeg határfelületén folytonosan halad át. Viszont a <math>\mathbf{D} = \varepsilon \mathbf{E}</math> összefüggés alapján az elektromos térerősség normál komponense ugrik:

:<math>\frac{\mathbf{E}_1^n}{\mathbf{E}_2^n} = \frac{\varepsilon_2}{\varepsilon_1}</math>

'''<math>\mathbf{E}</math> és <math>\mathbf{D}</math> vektorok törési törvénye''': Vegyünk fel egy [[beesési merőleges]]t a közeg határán és jelöljük az <math>\mathbf{E}</math> és <math>\mathbf{D}</math> vektorral bezárt szögét <math>\alpha_1</math>-gyel az egyik közegben ([[beesési szög]]) és <math>\alpha_2</math>-vel a másik közegben ([[törési szög]]), ekkor a következő törvény írható fel:

:<math>\frac{\operatorname{tg} \alpha_1}{\operatorname{tg} \alpha_2} = \frac{\mathbf{E}_1^t / \mathbf{E}_1^n}{\mathbf{E}_2^t / \mathbf{E}_2^n} = \frac{\mathbf{D}_1^t / \mathbf{D}_1^n}{\mathbf{D}_2^t / \mathbf{D}_2^n} = \frac{\varepsilon_1}{\varepsilon_2}</math>

===Magnetosztatika [http://en.wikipedia.org/wiki/Magnetization]===

A mágneses tér jellemzésre a <math>\mathbf{H}</math> [[mágneses térerősség]]et használjuk, a [[Maxwell-egyenletek]] alapján sztatika és üres tér estén a következő egyenleteket elégíti ki:

:<math>\operatorname{div}\mathbf{B} = 0</math>

:<math>\operatorname{rot}\mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{j}</math>

Az [[divergencia|divergenciára]] vonatkozó egyenlet azt írja le, hogy nem létezik mágneses [[monopólus]], szemben az elektromos esettel.

====Mágneses tér mágnesezhető anyagok jelenlétében====

Hasonlóan mint elektromos tér esetén a [[polarizáció]], itt az közeg [[mágnesezettség]]e jelenik meg: <math>\operatorname{div}\mathbf{H} = - \operatorname{div}\mathbf{M}</math> ahol <math>\mathbf{M}</math> az anyag mágnesezettsége. Ez pici elemi mágneses dipólokból adódik. Ezt adhatják [[spin]]ek, és [[köráram]]ok. A mágneses dipól hasonlóan fogható fel, mint egy elektromos, azon kivétellel, hogy nem lehet monopólusokból előállítani, lévén azok elvileg nem léteznek. A elektrosztatikával analóg módón vezessük be a mágneses térerősség vektort:

:<math>\mathbf{H} := \frac{\mathbf{B}}{\mu_0} - \mathbf{M}</math>

Párhuzam állítható az elektrosztatikus, és a magnetosztatikus esetek között: <math>\mathbf{E}</math> analógja <math>\mathbf{H}</math>, és <math>\mathbf{D}</math> párja <math>\mathbf{B}</math>. 

Lineáris közeg esetén a következő kapcsolat van a mágneses indukció és mágneses térerősség vektor között:

:<math>\mathbf{B} = \mu \mathbf{H} = \mu_0 \mu_r \mathbf{H} = \mu_0 \left(1 + \chi_m \right) \mathbf{H}</math>

Ahol <math>\mu_0</math> a vákuum [[mágneses permeabilitás]]a, <math>\mu_r</math> az anyagra jellemző relatív mágneses permeabilitás, <math>\mu</math> pedig a mágneses permeabilitás. <math>\chi_m</math> az anyag mágneses [[szuszceptibilitás]]a. Így a közeg mágnesezettsége és mágneses térerőssége közti kapcsolat:

:<math>\mathbf{M} = \frac{\mathbf{B}}{\mu_0} - \mathbf{H} = \mu_r \mathbf{H} - \mathbf{H} \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} \chi_m \mathbf{H}</math>

Az anyagok két csoportra oszthatóak, attól függően, hogy milyen <math>\chi_m</math> előjele: ha <math>\chi_m < 0</math> akkor [[diamágnes]]ről, ha <math>\chi_m > 0</math> akkor [[paramágnes]]es anyagról beszélhetünk. Diamágnes lerontja, a paramágnes pedig fölerősíti saját magában a külső mágness teret. Meg kell jegyezni, hogy <math>\chi_m</math> mindkét esetben igen kicsi szám, így a belső és a külső mágneses tér nem sokban különbözik. A [[szupravezetők]]re <math>\chi_m = -1</math>, tehát formálisan hívhatjuk őket tökéletes diamágnesnek, azaz teljesen kiszorítják magukból a mágneses teret, bennük <math>\mathbf{B} = 0</math>. Azonban a [[fizika|fizikájuk]], és <math>\chi_m</math> nagyságrendje is gyökeresen eltér a diamágnesekétől, így a kétféle anyagnak nincs sok köze egymáshoz. De ez már egy másik történet... (Vagyis másik tétel.) Diamágneses anyagok szuszceptibilitása [[hőmérséklet]]független. Paramágneses anyagoknak szuszeptibilitása fordítottan arányos a hőmérséklettel ([[Courie törvény]]). Továbbá vannak [[ferromágnes]]es anyagok, ezeknél <math>\mathbf{H}</math> és <math>\mathbf{M}</math> értéke nem arányos, hanem bonyolultabb kapcsolat figyelhető meg.

Fontos megjegyezni a következő összefüggést:

<math> \frac{1}{\mu_0 \varepsilon_0} = c_0^2</math>

Ahol <math>c_0</math> a vákuumbeli [[fénysebesség]]. Közegek esetén a fény is lassabban terjed, ekkor sebessége: <math>c^2 = \frac{1}{\mu \varepsilon}</math>, így látható, hogy a [[törésmutató]] ekképp áll elő: <math>n = \frac{c_0}{c} = \sqrt{\mu_r \varepsilon_r}</math>.

====B és H vektorok viselkedése két közeg határán====

Az [[elektrosztatika|elektrosztatikában]] felírtakhoz hasonló alakú határfeltételeket kaphatunk. Mivel a gondolatmenet kb. ugyanaz, csak röviden közlöm:

:<math>\operatorname{rot} \mathbf{H} = 0 \Rightarrow \oint \mathbf{H}_n d \mathbf{s} = 0 \Rightarrow \mathbf{H}_1^t = \mathbf{H}_2^t</math>

:<math>\operatorname{div} \mathbf{B} = 0 \Rightarrow \oint \mathbf{B}_n d \mathbf{f} = 0 \Rightarrow \mathbf{B}_1^n = \mathbf{B}_2^n</math>

==Stacionárius áram, áramköri törvények: Kirchhoff-törvények, Ohm-törvény==
A stacionárius [[áram]] kifejezés arra utal, hogy nincsen időbeli változása az áramnak. Ez állandó [[mágneses tér|mágneses teret]] hoz létre maga körül. Gyakran használjuk a lineáris vezető kifejezést. Ez hasonló absztrakció, mint a ponttöltés bevezetése sztatikában. Itt arra kell gondolni, hogy adott egy görbe a térben, és ennek a görbének minden pontjában egy <math>\mathbf{j}</math> áramsűrűség van, amely párhuzamos a görbe irányvektorával. Az áramot valamilyen [[potenciál]]különbség hajtja körben az áramkörben. Ezt valamilyen hatással (kémiai, mechanikai, stb.) létre kell hozni, és fenn kell tartani. Erre bevezetjük az [[elektromotoros erő]]t: ez azzal a térerősséggel egyenlő, amely a töltésszétválasztás során létrejött teret kompenzálja, ha nem folyik áram.

===Kirchhoff törvények[http://csega.homeip.net/wiki/index.php/Elektrodinamika#RLC_elemek.2C_.C3.A1ramk.C3.B6r.C3.B6k]===

A [[Kirchhoff]]-törvények a villamosságtanban a töltés és az energia megmaradását tárgyalják. Feladatok
esetén is jól alkalmazhatjuk (ablak módszer).

* [[Huroktörvény]] (energia megmaradás): Egy zárt áramköri hurokban a feszültségek előjeles összege zérus (feltéve, hogy nincs külső mágneses tér).

* [[Csomópont-törvény]] (töltésmegmaradás): Az egy áramköri csomópontban összefutó áramok előjeles összege zérus. Ez a [[kontinuitási egyenlet]] speciális esete.

===Ohm-törvény===
Általában: <math>R=\frac{U}{I}</math>

A lokális [[Ohm]]-törvény:

:<math>\mathbf{j}=\sigma\mathbf{E}</math>

ahol <math>\mathbf{j}</math> az áramsűrűség, <math>\mathbf{E}</math> az elektromos térerősség, <math>\frac{1}{\rho}=\sigma</math> a fajlagos [[vezetőképesség]] és <math>\rho</math> a fajlagos [[ellenállás]]. Fontos megjegyezni, hogy ezt sem tartalmazzák a [[Maxwell-egyenletek]], tulajdonképpen ez is anyagi egyenlet. Lásd a [[Nemegyensúlyi_folyamatok_leírása#Kereszteffektusok | kereszteffektusoknál]] található levezetést.

Érdemes megyjegyezni, hogy a kontinuitási egyenlet miatt az [[áramsűrűség]] normális komponense a határfelületeken egyenlő, azonban ha két olyan anyag van a két oldalon, amelyek [[vezetőképessége]] (ellenállása) más, akkor a [[térerősség]] is különböző kell, hogy legyen, és az eredmény az, hogy a felületen töltésfelhalmozódás alakul ki.

===Mágneses hatások===
Az egyenárammal átjárt lineáris vezető egy infinitezinális darabja által létrehozott mágneses teret integrálva a vezető vonalára megkapjuk a mágneses teret. Ezt a [[Biot-Savart törvény]] adja meg. Ez levezethető a stacionáruis állapotot leíró Maxwell-egyenletekből:

:<math>\operatorname{rot} \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{j}</math>

Az eredmény:

:<math>\mathbf{B}=\frac{\mu_0}{4\pi} \int \frac{\mathbf{j}(r^{\prime}) \times (r-r^{\prime})}{|r-r^{\prime}|^3}d^3r^{\prime}</math>

Ennek egy speciális alkalmazása, amit igen sokszor használ a fizika, az egyetlen kis áramhurok által látrehozott mágneses tér. Ha a hurokban I áram folyik, akkor bevezetjük a mágneses momentumot (hasonló az elektromos dipólhoz):

:<math>\mathbf{m}=I \int df</math>

ahol az áramot a hurok által behatárolt felület nagyságával szoroztuk meg, az irányt a jobbkéz szabály adja. Ennek sehítségével a kis hurok mágneses tere:

:<math>\mathbf{B}=\frac{\mu}{4\pi}\left( \frac{3 (\mathbf{mr})\mathbf{r}}{r^5}\right) - \frac{\mathbf{m}}{r^3}</math>

Az így létrehozott térben a töltésekre természetesen hat a [[Lorentz-erő]]. Ennek következménye az is, hogy két párhuzamos lineáris vezető között erőhatás ébred, ha bennük áram folyik. Ennek mértéke:

:<math>\mathbf{F} = I \mathbf{L} \times \mathbf{B}</math>

Ha egy irányba folyik az áram a két vezetőben, akkor vonzzák egymást, ha ellentétesen, akkor taszítják egymást.

====Tekercsek====
Ha feltekerünk [[hélix]]be egy vezetőt, és áramot folyatunk át rajta, akkor az egyes hurkok mágneses tere összeadódik, továbbá jó közelítéssel a tekercsen belül [[homogén]] terünk lesz, ami a szélek felé egyre jobban leromlik. A létrehozott '''B''' tér egyenesen arányos az áramerősséggel, és a menetszámmal (n).

<hr />
'''Hivatkozások:'''
<references />

{{Záróvizsga}}

Lorentz transzformáció

2011-06-26T10:29:31Z

Bertalan:

:<math>t'=\frac{t - \frac{v}{c^{2}}x}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}} \qquad</math>

:<math>x'=\frac{x - vt}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}} \qquad</math> 

Bővebben: [[A relativitás elmélet alapjai#A Lorentz-transzformáció]]

Lorentz transzformáció

2011-06-26T10:28:13Z

Bertalan: Új oldal, tartalma: „ :<math>t'=\frac{t - \frac{v}{c^{2}}x}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}} \qquad</math> :<math>x'=\frac{x - vt}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}} \qquad</math> …”

:<math>t'=\frac{t - \frac{v}{c^{2}}x}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}} \qquad</math>

:<math>x'=\frac{x - vt}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}} \qquad</math> 

Bővebben: [[]]

B-H összefüggése

2011-06-26T10:16:34Z

Bertalan: Új oldal, tartalma: „ :<math>\mathbf{H} := \frac{\mathbf{B}}{\mu_0} - \mathbf{M}</math> Bővebben: [[Elektro- és magnetosztatika, áramkörök#Vezetők, szigetelők, dielektrikumok, kondenz…”

:<math>\mathbf{H} := \frac{\mathbf{B}}{\mu_0} - \mathbf{M}</math>

Bővebben: [[Elektro- és magnetosztatika, áramkörök#Vezetők, szigetelők, dielektrikumok, kondenzátor, magnetosztatika]]

D-E összefüggése

2011-06-26T10:14:57Z

Bertalan: Új oldal, tartalma: „ :<math>\mathbf{D} = \varepsilon_0 \mathbf{E} + \mathbf{P} = \varepsilon_0 \mathbf{E} + \varepsilon_0 \chi_e \mathbf{E} = \varepsilon_0 \left(1 + \chi_e \right) \mathbf{E}…”

:<math>\mathbf{D} = \varepsilon_0 \mathbf{E} + \mathbf{P} = \varepsilon_0 \mathbf{E} + \varepsilon_0 \chi_e \mathbf{E} = \varepsilon_0 \left(1 + \chi_e \right) \mathbf{E}</math>

Bővebben: [[Elektro- és magnetosztatika, áramkörök#Vezetők, szigetelők, dielektrikumok, kondenzátor, magnetosztatika]]

Gravitációs törvény

2011-06-26T10:11:59Z

Bertalan:

:<math>F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}</math>

Bővebben: [[Az asztrofizika alapjai#Newton-féle gravitációs erőtörvény]]